具体的には、与えられた曲線や直線で囲まれた領域の面積を計算します。

##

1. 問題の内容

この問題は、複数の小問から構成されています。内容は以下の通りです。

1. **曲線と直線で囲まれた図形の面積を求める問題（5問）**

具体的には、与えられた曲線や直線で囲まれた領域の面積を計算します。

2. **3次関数のグラフとその接線に関する問題（2問）**

3次関数のグラフの接線を求め、その接線とグラフで囲まれた領域の面積を計算します。

3. **曲線と直線で囲まれた図形の面積に関する問題（3問）**

曲線と直線が与えられ、それらの交点の座標や、それらで囲まれた領域の面積に関する式を導出し、その面積の最小値を求めます。

4. **関数方程式を満たす関数を求める問題（2問）**

積分を含む関数方程式を満たす関数 $f(x)$ を求める問題です。

##

2. 解き方の手順

画像にある問題のうち、問題1の(1)と問題4の(11)を解きます。

### 問題1(1)

$y = x^2 - 3$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求めます。

1. **積分区間を求める**: まず、$x^2 - 3 = 0$ を解いて、積分区間を決定します。

$x^2 - 3 = 0$ より、$x = \pm \sqrt{3}$ となります。したがって、積分区間は $[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$ です。

2. **定積分を計算する**: $x$軸より下の部分なので、面積は負の値になるため、絶対値を取ります。

$S = - \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (x^2 - 3) dx$

$S = - \left[ \frac{1}{3}x^3 - 3x \right]_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}$

$S = - \left[ (\frac{1}{3}(\sqrt{3})^3 - 3\sqrt{3}) - (\frac{1}{3}(-\sqrt{3})^3 - 3(-\sqrt{3})) \right]$

$S = - \left[ (\sqrt{3} - 3\sqrt{3}) - (-\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) \right]$

$S = - \left[ -2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \right]$

$S = 4\sqrt{3}$

### 問題4(11)

$f(x) = x^2 + \int_{0}^{2} f(t) dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めます。

1. **定積分の値を定数とする**: $\int_{0}^{2} f(t) dt = A$ (定数) とおきます。

すると、$f(x) = x^2 + A$ となります。

2. **定数Aを求める**:

$A = \int_{0}^{2} f(t) dt = \int_{0}^{2} (t^2 + A) dt$

$A = \left[ \frac{1}{3}t^3 + At \right]_{0}^{2}$

$A = \frac{8}{3} + 2A$

$A = -\frac{8}{3}$

3. **関数f(x)を求める**: $f(x) = x^2 + A$ に $A = -\frac{8}{3}$ を代入します。

$f(x) = x^2 - \frac{8}{3}$

##

3. 最終的な答え

**問題1(1)の答え**: 面積 $4\sqrt{3}$

**問題4(11)の答え**: $f(x) = x^2 - \frac{8}{3}$