## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

この問題は、与えられた関数によって囲まれた図形の面積を求めたり、関数方程式を満たす関数を求めたりする問題です。具体的には、以下の4つの大問があります。

1. 与えられた曲線または直線で囲まれた図形の面積を求める問題。

2. 3次関数のグラフの接線を求め、その接線と曲線で囲まれた図形の面積を求める問題。

3. 曲線と直線の交点の座標から、囲まれた図形の面積の最小値を求める問題。

4. 関数方程式を満たす関数とその定数を求める問題。

今回は、大問4の(11)と(12)を解きます。

* (11) 関数 $f(x)$ は、$f(x) = x^2 + \int_0^2 f(t) dt$ を満たします。このとき、$f(x)$ を求めてください。

* (12) 関数 $f(x)$ と定数 $a$ は、$\int_0^x f(t) dt = x^3 + 2x - a$ を満たします。このとき、$f(x)$ と $a$ を求めてください。

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2. 解き方の手順

**(11) の解き方**

1. $\int_0^2 f(t) dt$ を $k$ とおきます。これは定数なので、$f(x)$ は以下のように書き換えられます。

$f(x) = x^2 + k$

2. $k$ の定義より、

$k = \int_0^2 f(t) dt = \int_0^2 (t^2 + k) dt$

3. 積分を計算します。

$k = \left[ \frac{1}{3}t^3 + kt \right]_0^2 = \frac{8}{3} + 2k$

4. $k$ について解きます。

$k - 2k = \frac{8}{3}$

$-k = \frac{8}{3}$

$k = -\frac{8}{3}$

5. $f(x) = x^2 + k$ に $k$ の値を代入します。

$f(x) = x^2 - \frac{8}{3}$

**(12) の解き方**

1. 与えられた等式 $\int_0^x f(t) dt = x^3 + 2x - a$ の両辺を $x$ で微分します。微分の基本定理より、

$\frac{d}{dx} \int_0^x f(t) dt = f(x)$

$\frac{d}{dx} (x^3 + 2x - a) = 3x^2 + 2$

したがって、$f(x) = 3x^2 + 2$ となります。

2. $f(x)$ を元の等式に代入し、$a$ の値を求めます。

$\int_0^x (3t^2 + 2) dt = x^3 + 2x - a$

$\left[ t^3 + 2t \right]_0^x = x^3 + 2x - a$

$x^3 + 2x = x^3 + 2x - a$

したがって、$a = 0$ となります。

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3. 最終的な答え

**(11) の答え**

$f(x) = x^2 - \frac{8}{3}$

**(12) の答え**

$f(x) = 3x^2 + 2$

$a = 0$