(1) $y = x^2 - 3, x軸$ (2) $y = x^2, y = x + 2$ (3) $y = x^2, y = -x^2 + 4$ (4) $y = 4x - x^2, y = -2x + 9, y軸$ (5) $y = (x + 1)^2, y = x + 2$

## 問題文のOCRと選択

問題の画像をOCR処理した結果と、解く問題の選択について説明します。

OCRの結果は以下の通りです。

1. 次の曲線ないし直線で囲まれた図形の面積を求めよ。

(1) $y = x^2 - 3, x軸$

(2) $y = x^2, y = x + 2$

(3) $y = x^2, y = -x^2 + 4$

(4) $y = 4x - x^2, y = -2x + 9, y軸$

(5) $y = (x + 1)^2, y = x + 2$

2. 3次関数 $y = x^3 - 3x$ のグラフを $C$、$C$ の点 $(2, 2)$ における接線を $l$ とする。

(6) $l$ の式を求めよ。

(7) $C, l$ によって囲まれる図形の面積を求めよ。

3. 曲線 $y = x^2 - 3x$ を $C$、直線 $y = m(x - 1)$ を $l$ とする。$C, l$ によって囲まれる図形の面積を $S$ とする。

(8) $C$ と $l$ の交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta (\alpha < \beta)$ とする。$\alpha + \beta, \alpha\beta$ を $m$ の式で表せ。

(9) $\beta - \alpha$ を $m$ の式で表せ。(10) $S$ の最小値を求めよ。

4. (11) 次の等式をみたす関数 $f(x)$ を求めよ。

$f(x) = x^2 + \int_{0}^{2} f(t) dt$

(12) 次の等式をみたす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めよ。

$\int_{1}^{x} f(t) dt = x^3 + 2x - a$

今回は、4.(11)の問題を解くことにします。

## 4.(11) 問題の内容

以下の等式を満たす関数 $f(x)$ を求めます。

$f(x) = x^2 + \int_{0}^{2} f(t) dt$

## 解き方の手順

1. 定積分の部分を定数 $A$ と置きます。

$A = \int_{0}^{2} f(t) dt$

2. $f(x)$ を $A$ を用いて表します。

$f(x) = x^2 + A$

3. $A$ の定義式に $f(x)$ を代入します。

$A = \int_{0}^{2} (t^2 + A) dt$

4. 定積分を計算して、$A$ についての方程式を解きます。

$A = \left[ \frac{1}{3}t^3 + At \right]_{0}^{2} = \frac{8}{3} + 2A$

$A - 2A = \frac{8}{3}$

$-A = \frac{8}{3}$

$A = -\frac{8}{3}$

5. $A$ の値を $f(x)$ の式に代入します。

$f(x) = x^2 - \frac{8}{3}$

## 最終的な答え

$f(x) = x^2 - \frac{8}{3}$