微分方程式 $xy' - y - x\log x = 0$ の一般解を積分因子を用いて求め、さらに初期条件 $y(1)=0$ を満たす特殊解を求めます。ここで、$x > 0$ であるとします。

1. 問題の内容

微分方程式 $xy' - y - x\log x = 0$ の一般解を積分因子を用いて求め、さらに初期条件 $y(1)=0$ を満たす特殊解を求めます。ここで、$x > 0$ であるとします。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式を書き換えます。

$xy' - y = x \log x$

両辺を $x$ で割ると、

$y' - \frac{1}{x}y = \log x$

これは1階線形微分方程式の形になっています。積分因子 $\mu(x)$ を求めます。

$\mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\log x} = e^{\log(x^{-1})} = \frac{1}{x}$

微分方程式の両辺に積分因子 $\frac{1}{x}$ を掛けます。

$\frac{1}{x}y' - \frac{1}{x^2}y = \frac{\log x}{x}$

左辺は $\left(\frac{y}{x}\right)'$ となるので、

$\left(\frac{y}{x}\right)' = \frac{\log x}{x}$

両辺を $x$ について積分します。

$\int \left(\frac{y}{x}\right)' dx = \int \frac{\log x}{x} dx$

$\frac{y}{x} = \int \frac{\log x}{x} dx$

ここで、$u = \log x$ と置換すると、$du = \frac{1}{x}dx$ となるので、

$\int \frac{\log x}{x} dx = \int u du = \frac{1}{2}u^2 + C = \frac{1}{2}(\log x)^2 + C$

したがって、

$\frac{y}{x} = \frac{1}{2}(\log x)^2 + C$

$y = x \left(\frac{1}{2}(\log x)^2 + C \right)$

これが一般解です。

次に、初期条件 $y(1) = 0$ を用いて特殊解を求めます。

$y(1) = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}(\log 1)^2 + C\right) = 0$

$\log 1 = 0$ なので、

$1 \cdot \left(\frac{1}{2}(0)^2 + C\right) = 0$

$C = 0$

したがって、特殊解は

$y = \frac{1}{2}x (\log x)^2$

3. 最終的な答え

一般解：$y = x \left(\frac{1}{2}(\log x)^2 + C \right)$

特殊解：$y = \frac{1}{2}x (\log x)^2$