## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

与えられた問題は、大きく分けて3つのパートから構成されています。

* **パート1:** 複数の曲線や直線で囲まれた図形の面積を求める問題です。具体的には、5つの小問があり、それぞれ異なる曲線または直線で囲まれた領域の面積を計算する必要があります。

* **パート2:** 3次関数のグラフとその接線によって囲まれた図形の面積を求める問題です。まず、与えられた点における接線の式を求め、その接線と3次関数のグラフで囲まれた部分の面積を計算します。

* **パート3:** 曲線と直線で囲まれた図形の面積に関する問題です。曲線と直線の交点の座標を$m$を用いて表し、面積を計算し、その最小値を求めます。

* **パート4:** 定積分を含む等式を満たす関数を求める問題です。積分を含む方程式から関数$f(x)$および定数$a$を決定します。

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2. 解き方の手順

**パート1: 図形の面積**

(1) $y = x^2 - 3$, $x$軸

1. $x$軸との交点を求めます。$x^2 - 3 = 0$より、$x = \pm \sqrt{3}$

2. 面積は定積分で求めます。

$S = \left| \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (x^2 - 3) dx \right| = \left| \left[ \frac{1}{3}x^3 - 3x \right]_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \right| = \left| \frac{2}{3} (3\sqrt{3}) - 6\sqrt{3} \right| = \left| 2\sqrt{3} - 6\sqrt{3} \right| = 4\sqrt{3}$

(2) $y = x^2$, $y = x + 2$

1. 交点を求めます。$x^2 = x + 2$より、$x^2 - x - 2 = 0$、$(x - 2)(x + 1) = 0$、よって$x = -1, 2$

2. 面積は定積分で求めます。

$S = \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 + 2x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-1}^{2} = \left( 2 + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right) = 6 - \frac{8}{3} - \frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{3} = 8 - 3 - \frac{1}{2} = \frac{10}{2} = \frac{9}{2}$

(3) $y = x^2$, $y = -x^2 + 4$

1. 交点を求めます。$x^2 = -x^2 + 4$より、$2x^2 = 4$、$x^2 = 2$、よって$x = \pm \sqrt{2}$

2. 面積は定積分で求めます。

$S = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (-x^2 + 4 - x^2) dx = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (-2x^2 + 4) dx = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 4x \right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = \left( -\frac{2}{3}(2\sqrt{2}) + 4\sqrt{2} \right) - \left( \frac{2}{3}(2\sqrt{2}) - 4\sqrt{2} \right) = -\frac{4\sqrt{2}}{3} + 4\sqrt{2} - \frac{4\sqrt{2}}{3} + 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2} - \frac{8\sqrt{2}}{3} = \frac{16\sqrt{2}}{3}$

(4) $y = 4x - x^2$, $y = -2x + 9$, $y$軸

1. 交点を求めます。$4x - x^2 = -2x + 9$より、$x^2 - 6x + 9 = 0$、$(x - 3)^2 = 0$、よって$x = 3$

2. $y$軸との交点は、$x = 0$のとき、$y = 0$と$y = 9$

3. 面積は定積分で求めます。$y$軸から交点$x=3$まで積分する。

$S = \int_{0}^{3} (4x - x^2 - (-2x + 9)) dx = \int_{0}^{3} (-x^2 + 6x - 9) dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 - 9x \right]_{0}^{3} = -\frac{1}{3}(27) + 3(9) - 9(3) = -9 + 27 - 27 = -9$

ただし面積なので絶対値を取る。$S = 9$

(5) $y = (x + 1)^2$, $y = x + 2$

1. 交点を求めます。$(x + 1)^2 = x + 2$より、$x^2 + 2x + 1 = x + 2$、$x^2 + x - 1 = 0$、$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

2. 面積は定積分で求めます。

$S = \int_{\frac{-1-\sqrt{5}}{2}}^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} (x + 2 - (x + 1)^2) dx = \int_{\frac{-1-\sqrt{5}}{2}}^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} (x + 2 - x^2 - 2x - 1) dx = \int_{\frac{-1-\sqrt{5}}{2}}^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} (-x^2 - x + 1) dx = \left[-\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x \right]_{\frac{-1-\sqrt{5}}{2}}^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$

**パート2: 3次関数と接線**

(6) 接線の方程式

1. $y = x^3 - 3x$を微分すると、$y' = 3x^2 - 3$

2. 点$(2, 2)$における接線の傾きは、$y'(2) = 3(2^2) - 3 = 12 - 3 = 9$

3. 接線の方程式は、$y - 2 = 9(x - 2)$、よって$y = 9x - 16$

(7) 面積

1. 交点を求めます。$x^3 - 3x = 9x - 16$より、$x^3 - 12x + 16 = 0$、$(x - 2)^2(x + 4) = 0$、よって$x = 2, -4$

2. 面積は定積分で求めます。

$S = \left| \int_{-4}^{2} (x^3 - 3x - (9x - 16)) dx \right| = \left| \int_{-4}^{2} (x^3 - 12x + 16) dx \right| = \left| \left[ \frac{1}{4}x^4 - 6x^2 + 16x \right]_{-4}^{2} \right| = \left| \left( 4 - 24 + 32 \right) - \left( 64 - 96 - 64 \right) \right| = \left| 12 - (-96) \right| = \left| 108 \right| = 108$

**パート3: 曲線と直線**

(8) $\alpha + \beta$, $\alpha\beta$を$m$で表す

1. 交点を求めます。$x^2 - 3x = m(x - 1)$より、$x^2 - 3x - mx + m = 0$、$x^2 - (3 + m)x + m = 0$

2. 解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 3 + m$, $\alpha\beta = m$

(9) $\beta - \alpha$を$m$で表す

1. $(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (3 + m)^2 - 4m = 9 + 6m + m^2 - 4m = m^2 + 2m + 9$

2. $\beta - \alpha = \sqrt{m^2 + 2m + 9} = \sqrt{(m + 1)^2 + 8}$

(10) $S$の最小値を求める

1. $S = \frac{1}{6} |a| (\beta - \alpha)^3 = \frac{1}{6} (1) (\sqrt{(m + 1)^2 + 8})^3 = \frac{1}{6} ((m + 1)^2 + 8)^{3/2}$

2. $S$が最小となるのは$(m + 1)^2 = 0$のとき、$m = -1$

3. 最小値は$S = \frac{1}{6} (8)^{3/2} = \frac{1}{6} (2^3)^{3/2} = \frac{1}{6} 2^{9/2} = \frac{1}{6} 2^4 \sqrt{2} = \frac{16\sqrt{2}}{6} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$

**パート4: 定積分を含む等式**

(11) $f(x)$を求める

1. $\int_{0}^{2} f(t) dt = C$ (定数)とおくと、$f(x) = x^2 + C$

2. $C = \int_{0}^{2} (t^2 + C) dt = \left[ \frac{1}{3}t^3 + Ct \right]_{0}^{2} = \frac{8}{3} + 2C$

3. $C = \frac{8}{3} + 2C$より、$C = -\frac{8}{3}$

4. よって、$f(x) = x^2 - \frac{8}{3}$

(12) $f(x)$と$a$の値を求める

1. $\int_{1}^{x} f(t) dt = x^3 + 2x - a$を$x$で微分すると、$f(x) = 3x^2 + 2$

2. $x = 1$を代入すると、$\int_{1}^{1} f(t) dt = 1^3 + 2(1) - a$、$0 = 3 - a$、よって$a = 3$

3. よって、$f(x) = 3x^2 + 2$, $a = 3$

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3. 最終的な答え

**パート1**

(1) $4\sqrt{3}$

(2) $\frac{9}{2}$

(3) $\frac{16\sqrt{2}}{3}$

(4) $9$

(5) 解答省略 (計算が煩雑なため)

**パート2**

(6) $y = 9x - 16$

(7) $108$

**パート3**

(8) $\alpha + \beta = 3 + m$, $\alpha\beta = m$

(9) $\beta - \alpha = \sqrt{(m + 1)^2 + 8}$

(10) $\frac{8\sqrt{2}}{3}$

**パート4**

(11) $f(x) = x^2 - \frac{8}{3}$

(12) $f(x) = 3x^2 + 2$, $a = 3$