方程式 $x^3 + x^2 - 4x + 1 = 0$ が異なる3つの実数解を持つことを示す。

1. 問題の内容

方程式 $x^3 + x^2 - 4x + 1 = 0$ が異なる3つの実数解を持つことを示す。

2. 解き方の手順

関数 $f(x) = x^3 + x^2 - 4x + 1$ を考える。この関数のグラフを描き、x軸との交点の数が3つあることを示すことで、与えられた方程式が異なる3つの実数解を持つことを証明する。

まず、関数のいくつかの特定の値における符号を調べます。

$f(-3) = (-3)^3 + (-3)^2 - 4(-3) + 1 = -27 + 9 + 12 + 1 = -5 < 0$

$f(0) = 0^3 + 0^2 - 4(0) + 1 = 1 > 0$

$f(1) = 1^3 + 1^2 - 4(1) + 1 = 1 + 1 - 4 + 1 = -1 < 0$

$f(2) = 2^3 + 2^2 - 4(2) + 1 = 8 + 4 - 8 + 1 = 5 > 0$

中間値の定理より、

- $f(-3) < 0$ かつ $f(0) > 0$ であるので、$-3$ と $0$ の間に少なくとも1つの実数解が存在する。

- $f(0) > 0$ かつ $f(1) < 0$ であるので、$0$ と $1$ の間に少なくとも1つの実数解が存在する。

- $f(1) < 0$ かつ $f(2) > 0$ であるので、$1$ と $2$ の間に少なくとも1つの実数解が存在する。

したがって、少なくとも3つの異なる実数解が存在することが示された。3次関数は最大で3つの実数解を持つので、与えられた方程式は丁度3つの異なる実数解を持つ。

3. 最終的な答え

方程式 $x^3 + x^2 - 4x + 1 = 0$ は異なる3つの実数解を持つ。