与えられた関数または曲線によって囲まれた領域に関する様々な問題を解きます。具体的には、面積の計算、接線の導出、積分方程式の解法が含まれます。

はい、承知いたしました。問題文全体について解答します。

1. 問題の内容

与えられた関数または曲線によって囲まれた領域に関する様々な問題を解きます。具体的には、面積の計算、接線の導出、積分方程式の解法が含まれます。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 3$ と $x$ 軸で囲まれた面積

* $y = x^2 - 3 = 0$ を解いて、交点を求める: $x = \pm\sqrt{3}$

* 面積 $S = -\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (x^2 - 3) dx = -[\frac{1}{3}x^3 - 3x]_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} = -(\frac{2}{3}(3\sqrt{3})-6\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}$

(2) $y = x^2$ と $y = x + 2$ で囲まれた面積

* $x^2 = x + 2$ を解いて、交点を求める: $x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+1) = 0 \Rightarrow x = -1, 2$

* 面積 $S = \int_{-1}^{2} (x+2-x^2) dx = [\frac{1}{2}x^2 + 2x - \frac{1}{3}x^3]_{-1}^{2} = (2+4-\frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}) = 6-\frac{8}{3}-\frac{1}{2}+2-\frac{1}{3} = 8 - 3 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

(3) $y = x^2$ と $y = -x^2 + 4$ で囲まれた面積

* $x^2 = -x^2 + 4$ を解いて、交点を求める: $2x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$

* 面積 $S = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (-x^2 + 4 - x^2) dx = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (-2x^2 + 4) dx = [-\frac{2}{3}x^3 + 4x]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = (-\frac{4\sqrt{2}}{3} + 4\sqrt{2}) - (\frac{4\sqrt{2}}{3} - 4\sqrt{2}) = -\frac{8\sqrt{2}}{3} + 8\sqrt{2} = \frac{16\sqrt{2}}{3}$

(4) $y = 4x - x^2$ と $y = -2x + 9$ と $y$ 軸で囲まれた面積

* $4x-x^2 = -2x+9$ を解いて、交点を求める: $x^2-6x+9 = 0 \Rightarrow (x-3)^2 = 0 \Rightarrow x=3$

* 交点は(3,3)。$y$軸との交点は(0,9)

* 面積 $S = \int_{0}^{3} (4x-x^2-(-2x+9))dx = \int_{0}^{3} (-x^2+6x-9)dx = [-\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 -9x]_{0}^{3} = -9+27-27= -9$。絶対値をとって$9$.

(5) $y = (x+1)^2$ と $y = x+2$ で囲まれた面積

* $(x+1)^2 = x+2$を解いて、交点を求める: $x^2 + 2x + 1 = x+2 \Rightarrow x^2 + x - 1=0 \Rightarrow x= \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$.

* 面積 $S = \int_{\frac{-1-\sqrt{5}}{2}}^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}(x+2 - (x+1)^2)dx = \int_{\frac{-1-\sqrt{5}}{2}}^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}(-x^2 -x +1)dx = [-\frac{1}{3}x^3 -\frac{1}{2}x^2 +x]_{\frac{-1-\sqrt{5}}{2}}^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} = \frac{5\sqrt{5}}{6}$.

(6) $y = x^3 - 3x$ のグラフ $C$ 上の点 (2, 2) における接線 $l$ の式

* $y' = 3x^2 - 3$

* $x = 2$ のとき $y' = 3(2^2) - 3 = 9$

* 接線 $l$ の式は $y - 2 = 9(x - 2) \Rightarrow y = 9x - 16$

(7) $C$ と $l$ によって囲まれる図形の面積

* $x^3 - 3x = 9x - 16$ を解いて交点を求める: $x^3 - 12x + 16 = 0$. $(x-2)^2(x+4) = 0$. 交点は、$x=2, -4$。

* 面積 $S = \int_{-4}^{2} (x^3 - 12x + 16) dx = [\frac{1}{4}x^4 - 6x^2 + 16x]_{-4}^{2} = (4 - 24 + 32) - (64 - 96 - 64) = 12 + 96 = 108$

(8) $y = x^2 - 3x$ を $C$, $y = m(x-1)$ を $l$ とする。$C$ と $l$ の交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とする。$\alpha + \beta, \alpha\beta$ を $m$ の式で表せ。

* $x^2 - 3x = m(x - 1) \Rightarrow x^2 - (3 + m)x + m = 0$

* 解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 3 + m$, $\alpha\beta = m$

(9) $\beta - \alpha$ を $m$ の式で表せ。

* $(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (3 + m)^2 - 4m = m^2 + 6m + 9 - 4m = m^2 + 2m + 9$

* $\beta - \alpha = \sqrt{m^2 + 2m + 9} = \sqrt{(m+1)^2 + 8}$

(10) $S$ の最小値を求めよ。

* $S = \int_{\alpha}^{\beta} (m(x-1) - (x^2 - 3x)) dx = \int_{\alpha}^{\beta} (-x^2 + (3+m)x - m) dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3 = -\frac{1}{6} ( (m+1)^2 + 8)^{3/2}$.

$(\beta-\alpha)^2 = (m+1)^2+8$は$m = -1$ のとき最小値 $8$ をとる。

$S = \frac{1}{6} \cdot (\beta - \alpha)^3$に注意、$S = \frac{1}{6} \cdot ( (m+1)^2+8)^{3/2}$

$S$ は $(\beta - \alpha)^2 = (m+1)^2+8$が最小のとき最小なので、$m = -1$ のとき $S$ は最小、$S = \frac{1}{6} \cdot (8)^{3/2} = \frac{1}{6} \cdot 8 \sqrt{8} = \frac{16\sqrt{2}}{3}$.

(11) 次の等式を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。$f(x) = x^2 + \int_{0}^{2} f(t) dt$

* $C = \int_{0}^{2} f(t) dt$ とおくと、$f(x) = x^2 + C$

* $\int_{0}^{2} (t^2 + C) dt = C \Rightarrow [\frac{1}{3}t^3 + Ct]_{0}^{2} = C \Rightarrow \frac{8}{3} + 2C = C \Rightarrow C = -\frac{8}{3}$

* $f(x) = x^2 - \frac{8}{3}$

(12) 次の等式を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めよ。$\int_{1}^{x} f(t) dt = x^3 + 2x - a$

* 両辺を $x$ で微分すると、$f(x) = 3x^2 + 2$

* $x = 1$ を代入すると、$0 = 1 + 2 - a \Rightarrow a = 3$

3. 最終的な答え

(1) $4\sqrt{3}$

(2) $\frac{9}{2}$

(3) $\frac{16\sqrt{2}}{3}$

(4) $9$

(5) $\frac{5\sqrt{5}}{6}$

(6) $y = 9x - 16$

(7) $108$

(8) $\alpha + \beta = 3 + m$, $\alpha\beta = m$

(9) $\sqrt{m^2 + 2m + 9} = \sqrt{(m+1)^2 + 8}$

(10) $\frac{16\sqrt{2}}{3}$

(11) $f(x) = x^2 - \frac{8}{3}$

(12) $f(x) = 3x^2 + 2$, $a = 3$