与えられた極限を計算する問題です。 $$\lim_{n \to \infty} n \sin \frac{\pi}{n}$$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

$$\lim_{n \to \infty} n \sin \frac{\pi}{n}$$

2. 解き方の手順

$x = \frac{1}{n}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $x \to 0$ なので、与えられた極限は次のように書き換えられます。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\pi x)}{x}$$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用するために、分子分母に $\pi$ をかけます。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\pi \sin(\pi x)}{\pi x} = \pi \lim_{x \to 0} \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$$

$y = \pi x$ とおくと、$x \to 0$ のとき $y \to 0$ なので、

$$\pi \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = \pi \cdot 1 = \pi$$

3. 最終的な答え

$$\pi$$