$y = \sin^2 x + 4\sin x \cos x + 5\cos^2 x$ のとりうる値の範囲を求める問題です。途中の式の一部が空欄になっています。空欄を埋めて、最終的な範囲を求めます。

1. 問題の内容

$y = \sin^2 x + 4\sin x \cos x + 5\cos^2 x$ のとりうる値の範囲を求める問題です。途中の式の一部が空欄になっています。空欄を埋めて、最終的な範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\sin x \cos x$ と $\cos^2 x$ を $2x$ の三角関数で表します。

$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ なので、5/6 の空欄には 1/2 が入ります。

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2x$ なので、7/8 の空欄には 1/2 が、9 の空欄にも 1/2 が入ります。

次に、$y$ を $\sin 2x$ と $\cos 2x$ で表します。

$y = \sin^2 x + 4\sin x \cos x + 5\cos^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x + 4\sin x \cos x + 4\cos^2 x = 1 + 4(\frac{1}{2}\sin 2x) + 4(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x) = 1 + 2\sin 2x + 2 + 2\cos 2x = 2\sin 2x + 2\cos 2x + 3$

したがって、10 の空欄には 2, 11 の空欄には 2, 12 の空欄には 3 が入ります。

$y = 2\sin 2x + 2\cos 2x + 3 = 2\sqrt{2} \sin(2x + \frac{\pi}{4}) + 3$

$2\sin 2x + 2\cos 2x = 2\sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2x) = 2\sqrt{2} (\cos \frac{\pi}{4} \sin 2x + \sin \frac{\pi}{4} \cos 2x) = 2\sqrt{2}\sin(2x + \frac{\pi}{4})$

したがって、13 の空欄には 2, 14 の空欄には 2, 15 の空欄には 4 が入ります。

$-1 \le \sin(2x + \frac{\pi}{4}) \le 1$ なので、

$-2\sqrt{2} \le 2\sqrt{2}\sin(2x + \frac{\pi}{4}) \le 2\sqrt{2}$

$-2\sqrt{2} + 3 \le 2\sqrt{2}\sin(2x + \frac{\pi}{4}) + 3 \le 2\sqrt{2} + 3$

したがって、16 の空欄には 2, 17 の空欄には 2, 18 の空欄には 3 が入ります。

3. 最終的な答え

$-2\sqrt{2} + 3 \le y \le 2\sqrt{2} + 3$