与えられた積分を計算します。ただし、$m$ と $n$ は自然数です。 $$\int_{0}^{2\pi} \sin mx \sin nx \, dx$$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。ただし、$m$ と $n$ は自然数です。

$$\int_{0}^{2\pi} \sin mx \sin nx \, dx$$

2. 解き方の手順

積和の公式を利用します。

$$\sin mx \sin nx = \frac{1}{2} (\cos(m-n)x - \cos(m+n)x)$$

したがって、積分は次のようになります。

$$\int_{0}^{2\pi} \sin mx \sin nx \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (\cos(m-n)x - \cos(m+n)x) \, dx$$

場合分けを行います。

(i) $m=n$ のとき:

$$\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (\cos(0) - \cos(2m)x) \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (1 - \cos(2m)x) \, dx = \frac{1}{2} \left[ x - \frac{\sin(2m)x}{2m} \right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2} (2\pi - 0) = \pi$$

(ii) $m \neq n$ のとき:

$$\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (\cos(m-n)x - \cos(m+n)x) \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin(m-n)x}{m-n} - \frac{\sin(m+n)x}{m+n} \right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2} (0 - 0) = 0$$

なぜなら、$m-n$ と $m+n$ は整数であり、$\sin(整数 \times 2\pi) = 0$ だからです。

3. 最終的な答え

$$\int_{0}^{2\pi} \sin mx \sin nx \, dx = \begin{cases} \pi & (m=n) \\ 0 & (m \neq n) \end{cases}$$