$\lim_{x \to \infty} x(\frac{\pi}{2} - \arctan x)$ を求める。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} x(\frac{\pi}{2} - \arctan x)$ を求める。

2. 解き方の手順

$\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$の関係を用いる。

したがって、$\frac{\pi}{2} - \arctan x = \arctan \frac{1}{x}$である。

よって、求める極限は、

$\lim_{x \to \infty} x \arctan \frac{1}{x}$

となる。

ここで、$t = \frac{1}{x}$とおくと、$x \to \infty$のとき、$t \to 0$となる。

したがって、求める極限は、

$\lim_{t \to 0} \frac{\arctan t}{t}$

となる。

これは$\frac{0}{0}$の不定形であるから、ロピタルの定理を用いることができる。

$\frac{d}{dt} \arctan t = \frac{1}{1+t^2}$であり、$\frac{d}{dt} t = 1$であるから、

$\lim_{t \to 0} \frac{\arctan t}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{1+t^2}}{1} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{1+t^2}$

$t \to 0$のとき、$1+t^2 \to 1$であるから、

$\lim_{t \to 0} \frac{1}{1+t^2} = 1$

3. 最終的な答え

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