放物線 $C_1: y=2x^2$ 上の点 $A(1, 2)$ における接線 $l$ を求める。次に、放物線 $C_2: y = -x^2 + ax - b$ が接線 $l$ と点 $A$ で接しているとき、$a$ と $b$ の値を求める。最後に、$0 < t < 1$ に対して、$l$ と $C_2$ および2直線 $x=t$, $x=2t+1$ で囲まれた二つの図形の面積の和 $S(t)$ を求め、$S(t)$ が最小となる $t$ の値 $t_1$ を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

放物線 $C_1: y=2x^2$ 上の点 $A(1, 2)$ における接線 $l$ を求める。次に、放物線 $C_2: y = -x^2 + ax - b$ が接線 $l$ と点 $A$ で接しているとき、$a$ と $b$ の値を求める。最後に、$0 < t < 1$ に対して、$l$ と $C_2$ および2直線 $x=t$, $x=2t+1$ で囲まれた二つの図形の面積の和 $S(t)$ を求め、$S(t)$ が最小となる $t$ の値 $t_1$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $C_1: y=2x^2$ 上の点 $A(1, 2)$ における接線 $l$ を求める。

$y' = 4x$ より、点 $A(1, 2)$ における接線の傾きは $4(1) = 4$ である。

したがって、接線 $l$ の方程式は

$y - 2 = 4(x - 1)$

$y = 4x - 4 + 2$

$y = 4x - 2$

よって、アは4、イは2である。

(2) 放物線 $C_2: y = -x^2 + ax - b$ が接線 $l: y = 4x - 2$ と点 $A(1, 2)$ で接しているとき、$a$ と $b$ の値を求める。

$C_2$ の微分は $y' = -2x + a$。点 $A(1, 2)$ における接線の傾きは $-2(1) + a = a - 2$。

接線 $l$ の傾きが 4 であるから、$a - 2 = 4$。

$a = 6$

$C_2$ が点 $A(1, 2)$ を通ることから、$2 = -(1)^2 + a(1) - b$。

$2 = -1 + 6 - b$

$b = 6 - 1 - 2 = 3$

よって、ウは6、エは3である。

(3) $a=6$, $b=3$ のとき、$l$ と $C_2$ および2直線 $x=t$, $x=2t+1$ で囲まれた二つの図形の面積の和 $S(t)$ を求める。

$S(t) = \int_t^{2t+1} ((4x - 2) - (-x^2 + 6x - 3)) dx$

$S(t) = \int_t^{2t+1} (x^2 - 2x + 1) dx$

$S(t) = [\frac{1}{3}x^3 - x^2 + x]_t^{2t+1}$

$S(t) = (\frac{1}{3}(2t+1)^3 - (2t+1)^2 + (2t+1)) - (\frac{1}{3}t^3 - t^2 + t)$

$S(t) = \frac{1}{3}(8t^3 + 12t^2 + 6t + 1) - (4t^2 + 4t + 1) + (2t+1) - \frac{1}{3}t^3 + t^2 - t$

$S(t) = \frac{8}{3}t^3 + 4t^2 + 2t + \frac{1}{3} - 4t^2 - 4t - 1 + 2t + 1 - \frac{1}{3}t^3 + t^2 - t$

$S(t) = \frac{7}{3}t^3 + t^2 - t + \frac{1}{3}$

よって、オは7、カは3、キは1、クは3である。

(4) $S'(t)$ を求める。

$S'(t) = 7t^2 + 2t - 1$

よって、ケは7、コは2、サは1である。

(5) $S(t)$ が最小となる $t$ の値 $t_1$ を求める。

$S'(t) = 7t^2 + 2t - 1 = 0$ を解く。

$t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(7)(-1)}}{14} = \frac{-2 \pm \sqrt{32}}{14} = \frac{-2 \pm 4\sqrt{2}}{14} = \frac{-1 \pm 2\sqrt{2}}{7}$

$0 < t < 1$ より、$t_1 = \frac{-1 + 2\sqrt{2}}{7}$

よって、シスは-1、セは2、ソは2、タは7である。

3. 最終的な答え

ア: 4

イ: 2

ウ: 6

エ: 3

オ: 7

カ: 3

キ: 1

ク: 3

ケ: 7

コ: 2

サ: 1

シス: -1

セ: 2

ソ: 2

タ: 7

$t_1 = \frac{-1 + 2\sqrt{2}}{7}$