数列 $\{b_n\}$ の一般項が与えられ、それを用いて数列 $\{S_n\}$ の一般項を求め、さらに $n \ge 2$ のとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。最後に、求めた数列 $\{a_n\}$ の一般項が $n=1$ のときも成り立つかどうかを判断します。

1. 問題の内容

数列 $\{b_n\}$ の一般項が与えられ、それを用いて数列 $\{S_n\}$ の一般項を求め、さらに $n \ge 2$ のとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。最後に、求めた数列 $\{a_n\}$ の一般項が $n=1$ のときも成り立つかどうかを判断します。

2. 解き方の手順

画像に写っている箇所だけを解くことを考えます。

(1) $a_n = S_n - S_{n-1}$ を用いて $a_n$ を求めます（$n \ge 2$）。

$S_n = \frac{セ}{ソ} \cdot 3^n - \frac{タチ}{ソ} (\frac{1}{ツ})^n$ より、

$S_{n-1} = \frac{セ}{ソ} \cdot 3^{n-1} - \frac{タチ}{ソ} (\frac{1}{ツ})^{n-1}$

したがって、

$a_n = S_n - S_{n-1} = \frac{セ}{ソ} (3^n - 3^{n-1}) - \frac{タチ}{ソ} \{ (\frac{1}{ツ})^n - (\frac{1}{ツ})^{n-1} \}$

$a_n = \frac{セ}{ソ} \cdot 3^{n-1} (3-1) - \frac{タチ}{ソ} (\frac{1}{ツ})^{n-1} (\frac{1}{ツ} - 1)$

$a_n = \frac{2セ}{ソ} \cdot 3^{n-1} - \frac{タチ}{ソ} (\frac{1}{ツ})^{n-1} (\frac{1-ツ}{ツ})$

問題文には、

$a_n = \frac{テ}{ソ} \cdot 3^n + \frac{トナ}{ソ} (\frac{1}{ツ})^n$ と書かれているので、

上記で求めた$a_n$の式を$3^n$と$(\frac{1}{ツ})^n$の形に変形します。

$a_n = \frac{2セ}{3ソ} \cdot 3^n - \frac{タチ(1-ツ)}{ツ^2 ソ} (\frac{1}{ツ})^n$

したがって、

$a_n = \frac{テ}{ソ} \cdot 3^n + \frac{トナ}{ソ} (\frac{1}{ツ})^n$ と比較すると、

$\frac{テ}{ソ} = \frac{2セ}{3ソ}$ , $\frac{トナ}{ソ} = -\frac{タチ(1-ツ)}{ツ^2 ソ}$ が成り立ちます。

(2) $n=1$ のとき $a_1 = S_1$ であるから、 $a_1$ を求めます。

$S_1 = \frac{セ}{ソ} \cdot 3 - \frac{タチ}{ソ} \cdot \frac{1}{ツ}$

$a_1 = S_1 = \frac{セ}{ソ} \cdot 3 - \frac{タチ}{ソ} \cdot \frac{1}{ツ}$

$a_n = \frac{テ}{ソ} \cdot 3^n + \frac{トナ}{ソ} (\frac{1}{ツ})^n$に$n=1$を代入した式は、

$a_1 = \frac{テ}{ソ} \cdot 3 + \frac{トナ}{ソ} \cdot \frac{1}{ツ}$

$a_1 = \frac{2セ}{3ソ} \cdot 3 - \frac{タチ(1-ツ)}{ツ^2 ソ} \cdot \frac{1}{ツ}$

$a_1 = \frac{2セ}{ソ} - \frac{タチ(1-ツ)}{ツ^3 ソ}$

$S_1=a_1$のとき、

$\frac{セ}{ソ} \cdot 3 - \frac{タチ}{ソ} \cdot \frac{1}{ツ} = \frac{2セ}{ソ} - \frac{タチ(1-ツ)}{ツ^3 ソ}$

$3セ - \frac{タチ}{ツ} = 2セ - \frac{タチ(1-ツ)}{ツ^3}$

$セ = \frac{タチ}{ツ} - \frac{タチ(1-ツ)}{ツ^3} = \frac{タチツ^2 - タチ + タチツ}{ツ^3} = \frac{タチ(ツ^2 + ツ - 1)}{ツ^3}$

この式が常に成り立つとは限らないため、 $n=1$ のときは成り立たない場合があります。

3. 最終的な答え

① $n=1$ のときは成り立たない