2階線形同次微分方程式 $y'' - 3y' + 2y = 0$ を解きます。

はい、承知いたしました。与えられた微分方程式を解いていきます。

**問題（c）**

1. 問題の内容

2階線形同次微分方程式 $y'' - 3y' + 2y = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、特性方程式を立てます。特性方程式は、微分を $r$ のべき乗に置き換えることで得られます。つまり、$y''$ は $r^2$, $y'$ は $r$, $y$ は $1$ に対応します。

$r^2 - 3r + 2 = 0$

この特性方程式を解きます。

$(r - 1)(r - 2) = 0$

よって、特性根は $r_1 = 1$ と $r_2 = 2$ です。特性根が異なる実数の場合、一般解は次のようになります。

$y(x) = c_1e^{r_1x} + c_2e^{r_2x}$

ここで、$c_1$ と $c_2$ は任意定数です。

3. 最終的な答え

$y(x) = c_1e^{x} + c_2e^{2x}$

**問題（d）**

1. 問題の内容

2階線形同次微分方程式 $y'' - 4y' - 5y = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

特性方程式を立てます。

$r^2 - 4r - 5 = 0$

この特性方程式を解きます。

$(r - 5)(r + 1) = 0$

よって、特性根は $r_1 = 5$ と $r_2 = -1$ です。特性根が異なる実数の場合、一般解は次のようになります。

$y(x) = c_1e^{r_1x} + c_2e^{r_2x}$

ここで、$c_1$ と $c_2$ は任意定数です。

3. 最終的な答え

$y(x) = c_1e^{5x} + c_2e^{-x}$

**問題（e）**

1. 問題の内容

2階線形同次微分方程式 $y'' - 2y' + y = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

特性方程式を立てます。

$r^2 - 2r + 1 = 0$

この特性方程式を解きます。

$(r - 1)^2 = 0$

よって、特性根は $r = 1$ (重根) です。特性根が重根の場合、一般解は次のようになります。

$y(x) = c_1e^{rx} + c_2xe^{rx}$

ここで、$c_1$ と $c_2$ は任意定数です。

3. 最終的な答え

$y(x) = c_1e^{x} + c_2xe^{x}$

**問題（f）**

1. 問題の内容

2階線形同次微分方程式 $y'' - 6y' + 7y = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

特性方程式を立てます。

$r^2 - 6r + 7 = 0$

この特性方程式を解きます。解の公式を使用します。

$r = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(7)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 28}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}$

よって、特性根は $r_1 = 3 + \sqrt{2}$ と $r_2 = 3 - \sqrt{2}$ です。特性根が異なる実数の場合、一般解は次のようになります。

$y(x) = c_1e^{r_1x} + c_2e^{r_2x}$

ここで、$c_1$ と $c_2$ は任意定数です。

3. 最終的な答え

$y(x) = c_1e^{(3 + \sqrt{2})x} + c_2e^{(3 - \sqrt{2})x}$

**問題（g）**

1. 問題の内容

2階線形同次微分方程式 $y'' + 4y = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

特性方程式を立てます。

$r^2 + 4 = 0$

この特性方程式を解きます。

$r^2 = -4$

$r = \pm \sqrt{-4} = \pm 2i$

よって、特性根は $r_1 = 2i$ と $r_2 = -2i$ です。特性根が複素数の場合、一般解は次のようになります。

$y(x) = c_1\cos(2x) + c_2\sin(2x)$

3. 最終的な答え

$y(x) = c_1\cos(2x) + c_2\sin(2x)$

**問題（h）**

1. 問題の内容

2階線形同次微分方程式 $y'' + 2y' + 5y = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

特性方程式を立てます。

$r^2 + 2r + 5 = 0$

この特性方程式を解きます。解の公式を使用します。

$r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(5)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$

よって、特性根は $r_1 = -1 + 2i$ と $r_2 = -1 - 2i$ です。特性根が複素数の場合、一般解は次のようになります。

$y(x) = e^{-x}(c_1\cos(2x) + c_2\sin(2x))$

ここで、$c_1$ と $c_2$ は任意定数です。

3. 最終的な答え

$y(x) = e^{-x}(c_1\cos(2x) + c_2\sin(2x))$

**問題（i）**

1. 問題の内容

2階線形同次微分方程式 $y'' - 2y' + 10y = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

特性方程式を立てます。

$r^2 - 2r + 10 = 0$

この特性方程式を解きます。解の公式を使用します。

$r = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(10)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 40}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{2 \pm 6i}{2} = 1 \pm 3i$

よって、特性根は $r_1 = 1 + 3i$ と $r_2 = 1 - 3i$ です。特性根が複素数の場合、一般解は次のようになります。

$y(x) = e^{x}(c_1\cos(3x) + c_2\sin(3x))$

ここで、$c_1$ と $c_2$ は任意定数です。

3. 最終的な答え

$y(x) = e^{x}(c_1\cos(3x) + c_2\sin(3x))$