$a$を実数の定数とする。曲線 $y = x^3 - 3x$ の接線で点 $(-1, a)$ を通るものが3本存在するような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$a$を実数の定数とする。曲線 $y = x^3 - 3x$ の接線で点 $(-1, a)$ を通るものが3本存在するような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $y = x^3 - 3x$ 上の点 $(t, t^3 - 3t)$ における接線を求める。

$y' = 3x^2 - 3$ より、接線の傾きは $3t^2 - 3$ である。

したがって、接線の方程式は

$y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t)$

$y = (3t^2 - 3)x - 3t^3 + 3t + t^3 - 3t$

$y = (3t^2 - 3)x - 2t^3$

この接線が点 $(-1, a)$ を通るので、

$a = (3t^2 - 3)(-1) - 2t^3$

$a = -3t^2 + 3 - 2t^3$

$2t^3 + 3t^2 + a - 3 = 0$

この $t$ の3次方程式が3つの異なる実数解を持つような $a$ の範囲を求める。

$f(t) = 2t^3 + 3t^2 + a - 3$ とおく。

$f'(t) = 6t^2 + 6t = 6t(t + 1)$

$f'(t) = 0$ となるのは $t = 0, -1$ のときである。

$f(t)$ の増減表は以下のようになる。

| t | ... | -1 | ... | 0 | ... |

|------|------|------|------|------|------|

| f'(t) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(t) | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑ |

$f(-1) = -2 + 3 + a - 3 = a - 2$

$f(0) = a - 3$

3つの異なる実数解を持つためには、極大値が正で極小値が負であることが必要十分条件である。

すなわち、$f(-1) > 0$ かつ $f(0) < 0$

$a - 2 > 0$ かつ $a - 3 < 0$

$a > 2$ かつ $a < 3$

したがって、$2 < a < 3$

3. 最終的な答え

2 < a < 3