関数 $y = \sqrt{e^x}$ を $x$ で微分せよ。

承知いたしました。指定された形式で問題 5 を解きます。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{e^x}$ を $x$ で微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、関数を指数関数として書き換えます。

$y = \sqrt{e^x} = (e^x)^{1/2} = e^{x/2}$

次に、合成関数の微分法を使います。$y = e^{f(x)}$ のとき、$dy/dx = e^{f(x)} \cdot f'(x)$ です。

この問題では、$f(x) = x/2$ なので、$f'(x) = 1/2$ となります。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = e^{x/2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} e^{x/2}$

$e^{x/2}$ を $\sqrt{e^x}$ で書き換えることも可能です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \sqrt{e^x}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} e^{x/2} = \frac{1}{2} \sqrt{e^x}$