与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin(3x)}{x} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin(3x)}{x}$$

2. 解き方の手順

$\sin(3x)$ は $-1$ と $1$ の間にあるため、$\sin(3x)$ は有界です。一方、$x$ は無限大に近づくので、$1/x$ は $0$ に近づきます。有界な関数と $0$ に近づく関数の積の極限は $0$ になります。

より厳密には、

$$-1 \le \sin(3x) \le 1$$

であるから、

$$-\frac{1}{x} \le \frac{\sin(3x)}{x} \le \frac{1}{x}$$

となります。

ここで、$\lim_{x \to \infty} -\frac{1}{x} = 0$ であり、$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ であるから、挟み撃ちの原理より、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin(3x)}{x} = 0$$

となります。

3. 最終的な答え

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin(3x)}{x} = 0$$