与えられた数列の極限を求める問題です。具体的には、 $\lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の極限を求める問題です。具体的には、

$\lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$1 - \frac{1}{n+1}$ を整理します。

$1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$

したがって、求める極限は

$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n$

となります。

この極限を計算するために、指数関数と対数関数を利用します。

$y = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n$

とおくと、

$\ln y = n \ln \left(\frac{n}{n+1}\right) = n \ln \left(\frac{n+1-1}{n+1}\right) = n \ln \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)$

ここで、$x = \frac{1}{n+1}$ と置くと、$n \to \infty$ のとき $x \to 0$ であり、$n = \frac{1}{x} - 1$ となります。

$\ln y = \left(\frac{1}{x} - 1\right) \ln (1-x)$

$\ln y = \frac{1-x}{x} \ln (1-x)$

$\lim_{x\to 0} \ln y = \lim_{x\to 0} \frac{1-x}{x} \ln (1-x) = \lim_{x\to 0} (1-x) \frac{\ln(1-x)}{x}$

ここで、$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1-x)}{x} = -1$ であることを用いると、

$\lim_{x\to 0} \ln y = \lim_{x\to 0} (1-x) \cdot (-1) = (1-0) \cdot (-1) = -1$

したがって、$\lim_{n\to\infty} \ln y = -1$ です。

$\lim_{n\to\infty} y = e^{-1} = \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e}$