次の極限を計算します。 $\lim_{x\to 0} (1 + x + x^2)^{1/x}$

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

$\lim_{x\to 0} (1 + x + x^2)^{1/x}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた極限を $y$ とおきます。

$y = \lim_{x\to 0} (1 + x + x^2)^{1/x}$

両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \lim_{x\to 0} \ln (1 + x + x^2)^{1/x} = \lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \ln (1 + x + x^2)$

ここで、$\ln(1+u)$ のマクローリン展開 $\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - ...$ を用いることを考えます。

$u = x + x^2$とおくと、

$\ln(1+x+x^2) = (x+x^2) - \frac{(x+x^2)^2}{2} + \frac{(x+x^2)^3}{3} - ... = x + x^2 - \frac{x^2 + 2x^3 + x^4}{2} + O(x^3) = x + x^2 - \frac{x^2}{2} - x^3 - \frac{x^4}{2} + O(x^3) = x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)$

したがって、

$\ln y = \lim_{x\to 0} \frac{1}{x} (x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)) = \lim_{x\to 0} (1 + \frac{x}{2} + O(x^2)) = 1$

$\ln y = 1$ より、$y = e^1 = e$

別解として、ロピタルの定理を用いることもできます。

$\ln y = \lim_{x\to 0} \frac{\ln (1 + x + x^2)}{x}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\ln y = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1+2x}{1+x+x^2}}{1} = \lim_{x\to 0} \frac{1+2x}{1+x+x^2} = \frac{1}{1} = 1$

$\ln y = 1$ より、$y = e^1 = e$

3. 最終的な答え

$e$