関数 $f(x) = \log(\sqrt{3} + \cos x)$ （$-\pi \le x \le \pi$）について、次の問いに答えます。 (1) $f(x)$の極大値と極小値を求め、選択肢から選びます。 (2) $y = f(x)$のグラフ上の点 $P(\alpha, \beta)$ における接線の傾きが $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ であるとき、$\alpha$の値を求め、選択肢から選びます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log(\sqrt{3} + \cos x)$ （$-\pi \le x \le \pi$）について、次の問いに答えます。

(1) $f(x)$の極大値と極小値を求め、選択肢から選びます。

(2) $y = f(x)$のグラフ上の点 $P(\alpha, \beta)$ における接線の傾きが $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ であるとき、$\alpha$の値を求め、選択肢から選びます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の極大値と極小値を求める

$f(x) = \log(\sqrt{3} + \cos x)$ なので、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = \frac{-\sin x}{\sqrt{3} + \cos x}$

$f'(x) = 0$ となるのは、$\sin x = 0$ のときです。 $-\pi \le x \le \pi$ より、$x = -\pi, 0, \pi$ が候補です。

次に、$f'(x)$ の符号を調べます。

* $-\pi < x < 0$ のとき、$\sin x < 0$ なので、$f'(x) > 0$

* $0 < x < \pi$ のとき、$\sin x > 0$ なので、$f'(x) < 0$

したがって、$x=0$ で極大値をとり、$x = -\pi, \pi$ で極小値をとることがわかります。

$x=0$ のとき、極大値は $f(0) = \log(\sqrt{3} + \cos 0) = \log(\sqrt{3} + 1)$ です。 選択肢の②です。

$x=-\pi, \pi$ のとき、極小値は $f(\pi) = f(-\pi) = \log(\sqrt{3} + \cos \pi) = \log(\sqrt{3} - 1)$ です。 選択肢の③です。

(2) 接線の傾きが $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ となる $\alpha$ の値を求める。

接線の傾きは $f'(\alpha)$ で与えられるので、

$f'(\alpha) = \frac{-\sin \alpha}{\sqrt{3} + \cos \alpha} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\sqrt{3}\sin \alpha = \sqrt{3} + \cos \alpha$

$\sqrt{3}\sin \alpha - \cos \alpha = \sqrt{3}$

合成関数を考えます。$2\sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$

$\sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\alpha - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3}$

$\alpha = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ または $\alpha = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

選択肢から、$\alpha = \frac{\pi}{2}$ が選べます。選択肢の④です。

3. 最終的な答え

(1) 極大値は②、極小値は③。

(2) $\alpha$ は④。