関数 $f(x) = x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ (ただし、$a > 0$) の微分を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ (ただし、$a > 0$) の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分します。

$f'(x) = \frac{d}{dx} \left[x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\right]$

積の微分法則と合成関数の微分法則を利用します。

$f'(x) = \sqrt{a^2 - x^2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot (-2x) + a^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{a})^2}} \cdot \frac{1}{a}$

整理すると、

$f'(x) = \sqrt{a^2 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} + \frac{a^2}{a\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}}$

$f'(x) = \sqrt{a^2 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} + \frac{a}{\sqrt{\frac{a^2 - x^2}{a^2}}}$

$f'(x) = \sqrt{a^2 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} + \frac{a^2}{\sqrt{a^2 - x^2}}$

$f'(x) = \frac{a^2 - x^2 - x^2 + a^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \frac{2a^2 - 2x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}}$

$f'(x) = \frac{2(a^2 - x^2)}{\sqrt{a^2 - x^2}} = 2\sqrt{a^2 - x^2}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = 2\sqrt{a^2 - x^2}$