$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x + x^2} \right)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x + x^2} \right)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を通分します。

$$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x + x^2} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{x + x^2 - \sin x}{\sin x (x + x^2)}$$

ここで、$\sin x$ のテイラー展開を利用します。$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

したがって、

$$x + x^2 - \sin x = x + x^2 - \left( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots \right) = x^2 + \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + \dots$$

また、

$$\sin x (x + x^2) = \left( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots \right)(x + x^2) = x^2 + x^3 - \frac{x^4}{6} - \frac{x^5}{6} + \dots$$

与えられた極限は、

$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + \dots}{x^2 + x^3 - \frac{x^4}{6} - \frac{x^5}{6} + \dots} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \left( 1 + \frac{x}{6} - \frac{x^3}{120} + \dots \right)}{x^2 \left( 1 + x - \frac{x^2}{6} - \frac{x^3}{6} + \dots \right)} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{x}{6} - \frac{x^3}{120} + \dots}{1 + x - \frac{x^2}{6} - \frac{x^3}{6} + \dots}$$

$x \to 0$ のとき、分子も分母も 1 に近づくので、

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{x}{6} - \frac{x^3}{120} + \dots}{1 + x - \frac{x^2}{6} - \frac{x^3}{6} + \dots} = \frac{1}{1} = 1$$

別の解法として、ロピタルの定理を使うこともできます。

$\lim_{x \to 0} \frac{x + x^2 - \sin x}{x \sin x + x^2 \sin x}$ において、分子も分母も 0 に収束するので、ロピタルの定理を適用できます。

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 + 2x - \cos x}{\sin x + x \cos x + 2x \sin x + x^2 \cos x}$$

再び分子も分母も 0 に収束するので、ロピタルの定理を適用します。

$$\lim_{x \to 0} \frac{2 + \sin x}{\cos x + \cos x - x \sin x + 2 \sin x + 2x \cos x + 2x \cos x - x^2 \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 + \sin x}{2 \cos x - x \sin x + 2 \sin x + 4x \cos x - x^2 \sin x}$$

$x \to 0$ のとき、

$$\frac{2 + 0}{2 \cdot 1 - 0 + 2 \cdot 0 + 4 \cdot 0 \cdot 1 - 0} = \frac{2}{2} = 1$$

3. 最終的な答え

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