与えられた3つの関数の導関数を求める問題です。 (1) $y = \arccos x$ (2) $y = \log |\log |x||$ (3) $y = e^{e^x}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数の導関数を求める問題です。

(1) $y = \arccos x$

(2) $y = \log |\log |x||$

(3) $y = e^{e^x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \arccos x$ の導関数を求める。

$\cos y = x$ である。両辺を $x$ で微分すると、

$-\sin y \frac{dy}{dx} = 1$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$

$\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ より、$\sin y = \sqrt{1-\cos^2 y} = \sqrt{1-x^2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

(2) $y = \log |\log |x||$ の導関数を求める。

合成関数の微分を用いる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{|\log |x||} \cdot \frac{d}{dx} |\log |x||$

$\frac{d}{dx} |\log |x|| = \frac{1}{\log |x|} \cdot \frac{d}{dx} \log |x|$ （$\log |x| > 0$ のとき）

$= \frac{1}{\log |x|} \cdot \frac{1}{|x|} \cdot \frac{d}{dx} |x|$

$= \frac{1}{\log |x|} \cdot \frac{1}{|x|} \cdot \frac{x}{|x|}$

$= \frac{1}{\log |x|} \cdot \frac{1}{x}$

ゆえに、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log |\log |x||} \cdot \frac{1}{x \log |x|}$

(3) $y = e^{e^x}$ の導関数を求める。

合成関数の微分を用いる。

$\frac{dy}{dx} = e^{e^x} \cdot \frac{d}{dx} e^x$

$\frac{dy}{dx} = e^{e^x} \cdot e^x$

$\frac{dy}{dx} = e^x e^{e^x}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

(2) $\frac{d}{dx} \log |\log |x|| = \frac{1}{x \log |x| \log |\log |x||}$

(3) $\frac{d}{dx} e^{e^x} = e^x e^{e^x}$