与えられた極限を求めます。 $$ \lim_{x \to \infty} \frac{2^x}{\pi x^2} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を求めます。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2^x}{\pi x^2}$$

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、ロピタルの定理を繰り返し適用します。

$x \to \infty$ のとき、$2^x \to \infty$ であり、$\pi x^2 \to \infty$ であるため、この極限は不定形 $\frac{\infty}{\infty}$ の形をしています。

したがって、ロピタルの定理を適用できます。

まず、$2^x$ を微分すると、$2^x \ln{2}$ となります。

$\pi x^2$ を微分すると、$2\pi x$ となります。

よって、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2^x}{\pi x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2^x \ln{2}}{2\pi x}$$

この極限も $\frac{\infty}{\infty}$ の形をしているので、再度ロピタルの定理を適用します。

$2^x \ln{2}$ を微分すると、$2^x (\ln{2})^2$ となります。

$2\pi x$ を微分すると、$2\pi$ となります。

よって、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2^x \ln{2}}{2\pi x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2^x (\ln{2})^2}{2\pi}$$

$x \to \infty$ のとき、$2^x \to \infty$ であるので、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2^x (\ln{2})^2}{2\pi} = \infty$$

3. 最終的な答え

$$\infty$$