与えられた2つの微分方程式の一般解を求めます。 (a) $y' + y = x^2e^{-x}$ (b) $xy' + y = 6x^2 - 2x$

1. 問題の内容

与えられた2つの微分方程式の一般解を求めます。

(a) $y' + y = x^2e^{-x}$

(b) $xy' + y = 6x^2 - 2x$

2. 解き方の手順

(a) $y' + y = x^2e^{-x}$

これは1階線形微分方程式なので、積分因子を求めます。

積分因子 $I(x)$は$I(x) = e^{\int 1 dx} = e^x$で与えられます。

与えられた微分方程式の両辺に積分因子を掛けます。

$e^x y' + e^x y = x^2e^{-x}e^x$

$e^x y' + e^x y = x^2$

$\frac{d}{dx}(e^x y) = x^2$

両辺を積分します。

$\int \frac{d}{dx}(e^x y) dx = \int x^2 dx$

$e^x y = \frac{x^3}{3} + C$

$y = e^{-x}(\frac{x^3}{3} + C)$

(b) $xy' + y = 6x^2 - 2x$

与えられた微分方程式を標準形に変形します。

$y' + \frac{1}{x}y = 6x - 2$

これは1階線形微分方程式なので、積分因子を求めます。

積分因子 $I(x)$は$I(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$で与えられます。

与えられた微分方程式の両辺に積分因子を掛けます。

$xy' + y = x(6x - 2)$

$\frac{d}{dx}(xy) = 6x^2 - 2x$

両辺を積分します。

$\int \frac{d}{dx}(xy) dx = \int (6x^2 - 2x) dx$

$xy = 2x^3 - x^2 + C$

$y = 2x^2 - x + \frac{C}{x}$

3. 最終的な答え

(a) $y = e^{-x}(\frac{x^3}{3} + C)$

(b) $y = 2x^2 - x + \frac{C}{x}$