関数 $y = \frac{x^2 - x + 2}{x + 1}$ のグラフの概形を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^2 - x + 2}{x + 1}$ のグラフの概形を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を変形します。

$x^2 - x + 2$ を $x+1$ で割ると、商は $x-2$、余りは $4$ となるので、

$y = x - 2 + \frac{4}{x+1}$

と変形できます。

次に、この関数の増減を調べます。

$y'$ を計算すると、

$y' = 1 - \frac{4}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)^2 - 4}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x + 1 - 4}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2} = \frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}$

となります。$y' = 0$ となるのは $x = -3, 1$ のときです。

また、$x=-1$ で定義されないので、注意が必要です。

増減表は以下のようになります。

| x | ... | -3 | ... | -1 | ... | 1 | ... |

|------|------|------|------|------|------|------|------|

| y' | + | 0 | - | | - | 0 | + |

| y | ↗ | -8 | ↘ | | ↘ | 0 | ↗ |

$x=-3$ のとき $y = -3 - 2 + \frac{4}{-3+1} = -5 - 2 = -7$

$x=1$ のとき $y = 1 - 2 + \frac{4}{1+1} = -1 + 2 = 1$

$x=-3$ で極大値 $y=-7$ をとり、$x=1$ で極小値 $y=1$ をとります。

漸近線を求めます。

$\lim_{x \to -1+0} y = -\infty$

$\lim_{x \to -1-0} y = +\infty$

なので、$x=-1$ は漸近線です。

$y = x-2 + \frac{4}{x+1}$ において、$x \to \infty$ あるいは $x \to -\infty$ のとき、$\frac{4}{x+1} \to 0$ となるので、$y=x-2$ も漸近線となります。

以上の情報をもとに、グラフの概形を描きます。

3. 最終的な答え

グラフの概形：漸近線 $x=-1$ と $y=x-2$ を持ち、$x=-3$ で極大値 $-7$、 $x=1$ で極小値 $1$ を持つ。