次の極限値を求めます。 $\lim_{x \to \infty} \sqrt{x}(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})$

1. 問題の内容

次の極限値を求めます。

$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x}(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})$

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x+1} - \sqrt{x}$ を有理化します。

$\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \frac{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \frac{(x+1) - x}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}$

したがって、

$\sqrt{x}(\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}$

ここで、分母と分子を $\sqrt{x}$ で割ります。

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x+1}{x}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ であるから、

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$