$y = \sin x - \cos 2x$ の最大値と最小値を求める問題です。具体的には、三角関数の合成と変形を用いて、$y$の式を書き換え、最大値と最小値、それらを与える$x$の値を求めます。さらに、与えられた範囲における$y = \sin x - \cos 2x$のグラフの概形を選択します。

1. 問題の内容

$y = \sin x - \cos 2x$ の最大値と最小値を求める問題です。具体的には、三角関数の合成と変形を用いて、$y$の式を書き換え、最大値と最小値、それらを与える$x$の値を求めます。さらに、与えられた範囲における$y = \sin x - \cos 2x$のグラフの概形を選択します。

2. 解き方の手順

(1) $\sin x - \cos 2x$ を変形します。

$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ を用いると、

$\sin x - \cos 2x = \sin x - (1 - 2\sin^2 x) = 2\sin^2 x + \sin x - 1$

ここで、$t = \sin x$ とおくと、

$2t^2 + t - 1 = 2(t^2 + \frac{1}{2}t) - 1 = 2(t + \frac{1}{4})^2 - 2(\frac{1}{16}) - 1 = 2(t + \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{8} - 1 = 2(t + \frac{1}{4})^2 - \frac{9}{8}$

したがって、$\sin x - \cos 2x = 2(\sin x + \frac{1}{4})^2 - \frac{9}{8}$

(2) $\sin \alpha = \frac{1}{4}$ を満たす$\alpha$を考えると、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$です。

$y = 2(\sin x + \frac{1}{4})^2 - \frac{9}{8}$より、

$\sin x = 1$ のとき、最大値 $2(1 + \frac{1}{4})^2 - \frac{9}{8} = 2(\frac{5}{4})^2 - \frac{9}{8} = 2(\frac{25}{16}) - \frac{9}{8} = \frac{25}{8} - \frac{9}{8} = \frac{16}{8} = 2$

$x = \frac{\pi}{2}$

$\sin x = - \frac{1}{4}$ のとき、最小値 $2(-\frac{1}{4} + \frac{1}{4})^2 - \frac{9}{8} = - \frac{9}{8}$

$\sin x = -\frac{1}{4}$ となる$x$は、$x = \pi + \alpha, 2\pi - \alpha$

(3) $0 \leq x \leq 2\pi$ における $y = \sin x - \cos 2x$ のグラフの概形を考えます。

$x = \frac{\pi}{2}$ で最大値 2 をとり、 $x = \pi + \alpha, 2\pi - \alpha$ で最小値 $-\frac{9}{8}$ をとります。

$x = 0$ のとき、 $y = \sin 0 - \cos 0 = 0 - 1 = -1$

$x = \pi$ のとき、 $y = \sin \pi - \cos 2\pi = 0 - 1 = -1$

$x = 2\pi$ のとき、 $y = \sin 2\pi - \cos 4\pi = 0 - 1 = -1$

これらの情報から、グラフの概形は④であるとわかります。

3. 最終的な答え

ア: 2

サ: 1

シ: 4

ス: 9

セ: 8

ソ: $\frac{\pi}{2}$

タ: 2

チ: $\pi + \alpha$

ツ: $2\pi - \alpha$

テト: 9

ナ: 8

二: ④