関数 $y = \sin{x} - \cos{2x}$ について、$0 \leq x \leq 2\pi$ の範囲で、以下の問いに答える問題です。 (1) まず、$y = \sin{x} - \cos{2x} > 0$ となる $x$ の範囲を求めます。 三角関数の2倍角の公式を利用して、$\sin{x} - \cos{2x}$ を因数分解し、$y = \sin{x} - \cos{2x} = 0$ となる $x$ の値を求め、その後、$y = \sin{x} - \cos{2x} > 0$ となる $x$ の範囲を選択肢から選びます。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin{x} - \cos{2x}$ について、$0 \leq x \leq 2\pi$ の範囲で、以下の問いに答える問題です。

(1) まず、$y = \sin{x} - \cos{2x} > 0$ となる $x$ の範囲を求めます。

三角関数の2倍角の公式を利用して、$\sin{x} - \cos{2x}$ を因数分解し、$y = \sin{x} - \cos{2x} = 0$ となる $x$ の値を求め、その後、$y = \sin{x} - \cos{2x} > 0$ となる $x$ の範囲を選択肢から選びます。

2. 解き方の手順

$\cos{2x}$ を $1 - 2\sin^2{x}$ で置き換えます。

$\sin{x} - \cos{2x} = \sin{x} - (1 - 2\sin^2{x}) = 2\sin^2{x} + \sin{x} - 1$

よって、ア = 2, イ = 1 です。

次に、$2\sin^2{x} + \sin{x} - 1$ を因数分解します。

$2\sin^2{x} + \sin{x} - 1 = (2\sin{x} - 1)(\sin{x} + 1)$

よって、ウ = 1, エ = 1 です。

$\sin{x} - \cos{2x} = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$(2\sin{x} - 1)(\sin{x} + 1) = 0$

$2\sin{x} - 1 = 0$ より $\sin{x} = \frac{1}{2}$ なので、$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$\sin{x} + 1 = 0$ より $\sin{x} = -1$ なので、$x = \frac{3\pi}{2}$

よって、$0 \leq x \leq 2\pi$ において、$\sin{x} - \cos{2x} = 0$ となる $x$ の値は、小さい順に、$\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$ であることがわかります。

オ = 6, カ = 5, キ = 6, ク = 3, ケ = 2

$\sin{x} - \cos{2x} > 0$ となる $x$ の範囲を求めます。

$(2\sin{x} - 1)(\sin{x} + 1) > 0$

$\sin{x} + 1 \geq 0$ より、$\sin{x} + 1 = 0$ となるのは $x = \frac{3\pi}{2}$ のときのみなので、基本的に $2\sin{x} - 1 > 0$ であれば条件を満たします。

$2\sin{x} - 1 > 0$ より、$\sin{x} > \frac{1}{2}$ となる $x$ の範囲は、$\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}$

$x = \frac{3\pi}{2}$ のとき、$\sin{x} = -1$ であるので、$(2\sin{x} - 1)(\sin{x} + 1) = (2(-1) - 1)(-1 + 1) = 0$ となり、$0$ より大きくなりません。

したがって、$\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}$ です。

よって、コ = 1 です。

3. 最終的な答え

ア = 2

イ = 1

ウ = 1

エ = 1

オ = 6

カ = 5

キ = 6

ク = 3

ケ = 2

コ = 1