与えられた極限を計算します。 $$\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n$$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n$$

2. 解き方の手順

まず、与えられた極限の対数をとります。

$$L = \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n$$

$$\ln L = \lim_{n\to\infty} \ln\left(\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n\right) = \lim_{n\to\infty} n \ln\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$$

ここで、$\ln(1+x)$ の $x=0$ におけるテイラー展開を思い出します。

$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$$

この展開を $x = -\frac{1}{n^2}$ に適用すると、

$$\ln\left(1-\frac{1}{n^2}\right) = -\frac{1}{n^2} - \frac{1}{2n^4} - \frac{1}{3n^6} - \cdots$$

したがって、

$$\ln L = \lim_{n\to\infty} n \left(-\frac{1}{n^2} - \frac{1}{2n^4} - \frac{1}{3n^6} - \cdots\right) = \lim_{n\to\infty} \left(-\frac{1}{n} - \frac{1}{2n^3} - \frac{1}{3n^5} - \cdots\right)$$

$n \to \infty$ のとき、$-\frac{1}{n}, -\frac{1}{2n^3}, -\frac{1}{3n^5}, \cdots$ はすべて0に収束します。

$$\ln L = 0$$

したがって、

$$L = e^0 = 1$$

3. 最終的な答え

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