与えられた極限を求める問題です。 $$\lim_{x \to -2+0} ([x^2] - [x]^2)$$ ここで $[x]$ は床関数を表し、$x$ 以下の最大の整数を表します。

1. 問題の内容

与えられた極限を求める問題です。

$$\lim_{x \to -2+0} ([x^2] - [x]^2)$$

ここで $[x]$ は床関数を表し、$x$ 以下の最大の整数を表します。

2. 解き方の手順

$x$ が $-2$ に正の方向から近づくとき、つまり $x \to -2+0$ のとき、$-2 < x < -1.999\dots$ のような状況を考えます。

このとき、$x^2$ は $(-2)^2 = 4$ に近づきます。具体的には、

$x = -1.99$ ならば $x^2 = 3.9601$

$x = -1.999$ ならば $x^2 = 3.996001$

となります。

したがって、$x \to -2+0$ のとき、$x^2$ は $4$ に下から近づきます。

このとき、$[x^2]$ は $3$ になります。なぜなら、$x^2 < 4$ なので、$[x^2] = 3$ となります。

また、$x$ は $-2$ に正の方向から近づくので、$[x] = -2$ となります。

したがって、$[x]^2 = (-2)^2 = 4$ となります。

したがって、極限は

$$\lim_{x \to -2+0} ([x^2] - [x]^2) = 3 - 4 = -1$$

となります。

3. 最終的な答え

-1