与えられた関数について、指定された点でのテイラー近似を求め、それを用いて特定の点の近似値を計算し、実際の値と比較する問題です。 (1) $e^x$ の、$x=0$ の近くでの2次テイラー近似を求め、$e^{0.1}$ の近似値を計算し、実際の値と比較する。 (2) $\sin x$ の、$x=0$ の近くでの3次テイラー近似を求め、$\sin 0.1$ の近似値を計算し、実際の値と比較する。 (3) $\frac{1}{1-x}$ の、$x=0$ の近くでの3次テイラー近似を求め、$\frac{1}{1-0.1}$ の近似値を計算し、実際の値と比較する。 (4) $\sqrt{1+x}$ の、$x=0$ の近くでの2次テイラー近似を求め、$\sqrt{0.81}$ の近似値を計算し、実際の値と比較する。 (5) $\log x$ の、$x=1$ の近くでの$n$次テイラー近似を求める。

## 問題の回答

1. 問題の内容

与えられた関数について、指定された点でのテイラー近似を求め、それを用いて特定の点の近似値を計算し、実際の値と比較する問題です。

(1) $e^x$ の、$x=0$ の近くでの2次テイラー近似を求め、$e^{0.1}$ の近似値を計算し、実際の値と比較する。

(2) $\sin x$ の、$x=0$ の近くでの3次テイラー近似を求め、$\sin 0.1$ の近似値を計算し、実際の値と比較する。

(3) $\frac{1}{1-x}$ の、$x=0$ の近くでの3次テイラー近似を求め、$\frac{1}{1-0.1}$ の近似値を計算し、実際の値と比較する。

(4) $\sqrt{1+x}$ の、$x=0$ の近くでの2次テイラー近似を求め、$\sqrt{0.81}$ の近似値を計算し、実際の値と比較する。

(5) $\log x$ の、$x=1$ の近くでの$n$次テイラー近似を求める。

2. 解き方の手順

テイラー近似は、関数$f(x)$を点$a$の周りで以下のように近似するものです。

$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$

各問題について、以下の手順で解きます。

(a) 関数の導関数を必要な次数まで求める。

(b) 各導関数を、指定された点（例えば、$x=0$または$x=1$）で評価する。

(c) テイラー近似の式に代入する。

(d) 近似式を用いて、指定された点の近似値を計算する。

(e) 実際の値を計算し、近似値と比較する。

以下に、各問題の解き方の詳細を示します。

(1) $f(x) = e^x$, $a=0$, 2次近似

$f'(x) = e^x$, $f''(x) = e^x$

$f(0) = 1$, $f'(0) = 1$, $f''(0) = 1$

テイラー近似:

$e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$

$e^{0.1} \approx 1 + 0.1 + \frac{(0.1)^2}{2} = 1 + 0.1 + 0.005 = 1.105$

(2) $f(x) = \sin x$, $a=0$, 3次近似

$f'(x) = \cos x$, $f''(x) = -\sin x$, $f'''(x) = -\cos x$

$f(0) = 0$, $f'(0) = 1$, $f''(0) = 0$, $f'''(0) = -1$

テイラー近似:

$\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}$

$\sin 0.1 \approx 0.1 - \frac{(0.1)^3}{6} = 0.1 - \frac{0.001}{6} = 0.1 - 0.0001666... \approx 0.0998333$

(3) $f(x) = \frac{1}{1-x}$, $a=0$, 3次近似

$f'(x) = (1-x)^{-2}$, $f''(x) = 2(1-x)^{-3}$, $f'''(x) = 6(1-x)^{-4}$

$f(0) = 1$, $f'(0) = 1$, $f''(0) = 2$, $f'''(0) = 6$

テイラー近似:

$\frac{1}{1-x} \approx 1 + x + x^2 + x^3$

$\frac{1}{1-0.1} \approx 1 + 0.1 + (0.1)^2 + (0.1)^3 = 1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 = 1.111$

実際の値: $\frac{1}{1-0.1} = \frac{1}{0.9} = \frac{10}{9} \approx 1.111111...$

(4) $f(x) = \sqrt{1+x}$, $a=0$, 2次近似

$f'(x) = \frac{1}{2}(1+x)^{-1/2}$, $f''(x) = -\frac{1}{4}(1+x)^{-3/2}$

$f(0) = 1$, $f'(0) = \frac{1}{2}$, $f''(0) = -\frac{1}{4}$

テイラー近似:

$\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2$

$\sqrt{0.81} = \sqrt{1 - 0.19}$ なので、$x = -0.19$ を代入する。

$\sqrt{0.81} \approx 1 + \frac{1}{2}(-0.19) - \frac{1}{8}(-0.19)^2 = 1 - 0.095 - \frac{1}{8}(0.0361) = 1 - 0.095 - 0.0045125 = 0.9004875$

実際の値: $\sqrt{0.81} = 0.9$

(5) $f(x) = \log x$, $a=1$, n次近似

$f'(x) = \frac{1}{x}$, $f''(x) = -\frac{1}{x^2}$, $f'''(x) = \frac{2}{x^3}$, $f^{(4)}(x) = -\frac{6}{x^4}, \dots$

$f(1) = 0$, $f'(1) = 1$, $f''(1) = -1$, $f'''(1) = 2$, $f^{(4)}(1) = -6, \dots$

テイラー近似:

$\log x \approx (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} + \dots + (-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}$

$\log x \approx \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \frac{(x-1)^k}{k}$

3. 最終的な答え

(1) $e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$, $e^{0.1} \approx 1.105$

(2) $\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}$, $\sin 0.1 \approx 0.0998333$

(3) $\frac{1}{1-x} \approx 1 + x + x^2 + x^3$, $\frac{1}{1-0.1} \approx 1.111$

(4) $\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2$, $\sqrt{0.81} \approx 0.9004875$

(5) $\log x \approx \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \frac{(x-1)^k}{k}$