次の関数を微分せよ。 (1) $\cos(4x)$ (2) $x \sin x$ (3) $\sin x \cos x$ (4) $\cos(\sin(x))$ (5) $\frac{1}{\sin x}$ (6) $\frac{1}{\tan x}$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(1) $\cos(4x)$

(2) $x \sin x$

(3) $\sin x \cos x$

(4) $\cos(\sin(x))$

(5) $\frac{1}{\sin x}$

(6) $\frac{1}{\tan x}$

2. 解き方の手順

(1) $\cos(4x)$の微分：

合成関数の微分公式を用いる。$\frac{d}{dx} \cos(u) = -\sin(u) \frac{du}{dx}$。

$u = 4x$とすると、$\frac{du}{dx} = 4$。

よって、$\frac{d}{dx} \cos(4x) = -\sin(4x) \cdot 4 = -4\sin(4x)$

(2) $x \sin x$の微分：

積の微分公式を用いる。$\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$。

$u = x$と$v = \sin x$とすると、$u' = 1$、$v' = \cos x$。

よって、$\frac{d}{dx}(x \sin x) = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$

(3) $\sin x \cos x$の微分：

積の微分公式を用いる。$\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$。

$u = \sin x$と$v = \cos x$とすると、$u' = \cos x$、$v' = -\sin x$。

よって、$\frac{d}{dx}(\sin x \cos x) = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$

または、$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin (2x)$ と変形してから微分すると、$\frac{d}{dx} (\frac{1}{2} \sin (2x)) = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot 2 = \cos(2x)$

(4) $\cos(\sin(x))$の微分：

合成関数の微分公式を用いる。$\frac{d}{dx} \cos(u) = -\sin(u) \frac{du}{dx}$。

$u = \sin(x)$とすると、$\frac{du}{dx} = \cos(x)$。

よって、$\frac{d}{dx} \cos(\sin(x)) = -\sin(\sin(x)) \cdot \cos(x) = -\cos(x)\sin(\sin(x))$

(5) $\frac{1}{\sin x}$の微分：

$\frac{1}{\sin x} = \csc x$であり、$(\csc x)' = -\csc x \cot x$。

または、商の微分公式を用いて$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\sin x}\right) = \frac{0 \cdot \sin x - 1 \cdot \cos x}{\sin^2 x} = \frac{-\cos x}{\sin^2 x} = -\frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\sin x} = -\cot x \csc x$。

(6) $\frac{1}{\tan x}$の微分：

$\frac{1}{\tan x} = \cot x$であり、$(\cot x)' = -\csc^2 x$。

または、商の微分公式を用いて$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\tan x}\right) = \frac{0 \cdot \tan x - 1 \cdot \frac{1}{\cos^2 x}}{\tan^2 x} = -\frac{1}{\cos^2 x \tan^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$

3. 最終的な答え

(1) $-4\sin(4x)$

(2) $\sin x + x \cos x$

(3) $\cos(2x)$

(4) $-\cos(x)\sin(\sin(x))$

(5) $-\csc x \cot x$

(6) $-\csc^2 x$