関数 $f(x) = x|x-2|$ について、以下の問いに答える問題です。 (ア) $y = f(x)$ のグラフの概形を選ぶ。 (イ) 曲線 $y = -x^2 + 2x$ の原点における接線の傾きを求める。 (ウ) 直線 $y = mx$ が曲線 $y = f(x)$ の $x > 0$ の部分と異なる2点を共有するような $m$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x|x-2|$ について、以下の問いに答える問題です。

(ア) $y = f(x)$ のグラフの概形を選ぶ。

(イ) 曲線 $y = -x^2 + 2x$ の原点における接線の傾きを求める。

(ウ) 直線 $y = mx$ が曲線 $y = f(x)$ の $x > 0$ の部分と異なる2点を共有するような $m$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(ア) $y = f(x) = x|x-2|$ のグラフの概形を考えます。

$x \ge 2$ のとき、$f(x) = x(x-2) = x^2 - 2x$

$x < 2$ のとき、$f(x) = x(2-x) = -x^2 + 2x$

$x \ge 2$ のとき、$f(x) = x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$ であるから、頂点が$(1, -1)$の放物線を$x \ge 2$で切り取ったものになります。

$x < 2$ のとき、$f(x) = -x^2 + 2x = -(x-1)^2 + 1$ であるから、頂点が$(1, 1)$の放物線を$x < 2$で切り取ったものになります。

$x=0$のとき、$f(x)=0$であり、$x=2$のときも$f(x)=0$です。

グラフは$x=2$で微分不可能ですが連続であり、これらの条件を満たすのは②のグラフです。

よって、アは②。

(イ) 曲線 $y = -x^2 + 2x$ の原点における接線の傾きを求めます。

$y' = -2x + 2$

$x = 0$ のとき $y' = 2$

よって、イは2。

(ウ) 直線 $y = mx$ が曲線 $y = f(x)$ の $x > 0$ の部分と異なる2点を共有するような $m$ の範囲を求めます。

$x > 0$の場合で場合分けします。

$0 < x < 2$ のとき、$f(x) = -x^2 + 2x$

$y = mx$ と $y = -x^2 + 2x$ の交点は

$mx = -x^2 + 2x$

$x^2 + (m-2)x = 0$

$x(x + m - 2) = 0$

$x = 0, 2 - m$

異なる2点を共有するためには、$0 < 2 - m < 2$ である必要がある。

$-2 < -m < 0$

$0 < m < 2$

$x \ge 2$ のとき、$f(x) = x^2 - 2x$

$y = mx$ と $y = x^2 - 2x$ の交点は

$mx = x^2 - 2x$

$x^2 - (m+2)x = 0$

$x(x - (m+2)) = 0$

$x = 0, m+2$

異なる2点を共有するためには、$m + 2 \ge 2$ である必要がある。

$m \ge 0$

$y = mx$ が $y = -x^2 + 2x$ と $y = x^2 - 2x$ の両方と交点を持つためには、$0 < m < 2$ が必要。

$f(x) = x|x-2|$の$x=2$での右側微分係数は、

$\lim_{h \to +0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{(2+h)|2+h-2|}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{(2+h)h}{h} = \lim_{h \to +0} (2+h) = 2$

$f(x) = x|x-2|$の$x=2$での左側微分係数は、

$\lim_{h \to -0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{(2+h)|2+h-2|}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{(2+h)|h|}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{(2+h)(-h)}{h} = \lim_{h \to -0} -(2+h) = -2$

$y = mx$ が $y = f(x)$ と $x>0$ で異なる2点を共有するためには、$-2 < m < 2$が必要です。ただし、$x=0$が含まれるため、$0 < m < 2$ となります。

$x > 0$における$y = f(x)$の最大傾きは2なので、$0 < m < 2$となります。

したがって、ウは0、エは2。

3. 最終的な答え

ア: ②

イ: 2

ウ: 0

エ: 2