2つの積分 $I_1$ と $I_2$ を計算する問題です。 $I_1 = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-x^2-y^2} dx dy$ $I_2 = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx$

1. 問題の内容

2つの積分 $I_1$ と $I_2$ を計算する問題です。

$I_1 = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-x^2-y^2} dx dy$

$I_2 = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx$

2. 解き方の手順

まず、$I_1$ を計算します。これは直交座標での二重積分ですが、極座標変換を行うことで計算が容易になります。

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ と置くと、$dxdy = r dr d\theta$ となります。

積分範囲は $x \ge 0$ かつ $y \ge 0$ なので、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ となります。また、$0 \le r < \infty$ です。

したがって、

$I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r dr d\theta$

まず、$r$ に関する積分を計算します。

$\int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r dr$

$u = r^2$ と置換すると、$du = 2r dr$ なので、$r dr = \frac{1}{2}du$ となります。

$\int_{0}^{\infty} e^{-u} \frac{1}{2}du = \frac{1}{2} [-e^{-u}]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2} (0 - (-1)) = \frac{1}{2}$

次に、$\theta$ に関する積分を計算します。

$I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} d\theta = \frac{1}{2} [\theta]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - 0) = \frac{\pi}{4}$

次に、$I_2$ を計算します。

$I_2 = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx$

$I_1 = I_2^2$ であることを利用します。

$I_2^2 = (\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx) (\int_{0}^{\infty} e^{-y^2} dy) = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-x^2 - y^2} dx dy = I_1$

よって、$I_2^2 = \frac{\pi}{4}$ なので、$I_2 = \sqrt{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$I_1 = \frac{\pi}{4}$

$I_2 = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$