関数 $f(x) = \sin x - x + \frac{1}{6}x^3$ について、$m = \min\{j \ge 1 \mid f^{(j)}(0) \neq 0\}$ を求める。ここで、$f^{(j)}(0)$ は $f(x)$ の $j$ 階微分を $x=0$ で評価した値である。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sin x - x + \frac{1}{6}x^3$ について、$m = \min\{j \ge 1 \mid f^{(j)}(0) \neq 0\}$ を求める。ここで、$f^{(j)}(0)$ は $f(x)$ の $j$ 階微分を $x=0$ で評価した値である。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の微分を順に計算する。

$f(x) = \sin x - x + \frac{1}{6}x^3$

$f'(x) = \cos x - 1 + \frac{1}{2}x^2$

$f''(x) = -\sin x + x$

$f'''(x) = -\cos x + 1$

$f^{(4)}(x) = \sin x$

$f^{(5)}(x) = \cos x$

次に、各導関数を $x=0$ で評価する。

$f'(0) = \cos 0 - 1 + \frac{1}{2}(0)^2 = 1 - 1 + 0 = 0$

$f''(0) = -\sin 0 + 0 = 0$

$f'''(0) = -\cos 0 + 1 = -1 + 1 = 0$

$f^{(4)}(0) = \sin 0 = 0$

$f^{(5)}(0) = \cos 0 = 1 \neq 0$

したがって、$f'(0) = f''(0) = f'''(0) = f^{(4)}(0) = 0$ であり、$f^{(5)}(0) \neq 0$ である。

$m = \min\{j \ge 1 \mid f^{(j)}(0) \neq 0\}$ なので、$m = 5$ である。

3. 最終的な答え

$m = 5$