画像に写っている2つの極限の問題を解きます。 (4) $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{2x}$ (8) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$

1. 問題の内容

画像に写っている2つの極限の問題を解きます。

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{2x}$

(8) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$

2. 解き方の手順

(4) の問題：

$a^x = e^{\ln(a^x)} = e^{x \ln a}$を利用して、$x \to 0$のとき、$a^x - 1 \approx x \ln a$となることを利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x \ln a} - 1}{2x}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$を利用するために、$\ln a = t$ と置換すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x \ln a} - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x \ln a} - 1}{x \ln a} \cdot \frac{\ln a}{2} = 1 \cdot \frac{\ln a}{2} = \frac{\ln a}{2}$

(8) の問題：

ロピタルの定理を2回適用します。$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}$の形であり、$\frac{\infty}{\infty}$になっているので、ロピタルの定理が適用できます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x} = 0$

3. 最終的な答え

(4) $\frac{\ln a}{2}$

(8) $0$