問題は画像の断片的な情報から判断する必要があります。以下の2つの問題を解きます。 (a) $\lim_{x\to 3} \frac{2}{x}$ を計算します。 (b) $\cos^2 3x$ を微分します。 (c) $(2 + \sqrt{x})^3$ を展開します。

1. 問題の内容

問題は画像の断片的な情報から判断する必要があります。以下の2つの問題を解きます。

(a) $\lim_{x\to 3} \frac{2}{x}$ を計算します。

(b) $\cos^2 3x$ を微分します。

(c) $(2 + \sqrt{x})^3$ を展開します。

2. 解き方の手順

(a) 極限の計算:

$x$ が3に近づくときの $\frac{2}{x}$ の極限を求めます。これは単純な関数の極限であり、$x$ に3を代入するだけで計算できます。

$$\lim_{x\to 3} \frac{2}{x} = \frac{2}{3}$$

(b) 微分:

$\cos^2 3x$ を $x$ について微分します。これは合成関数の微分であるため、連鎖律を用います。

まず、$u = \cos 3x$ と置くと、$\cos^2 3x = u^2$ となります。$u^2$ を $u$ で微分すると、$2u$ となります。次に、$\cos 3x$ を $x$ で微分すると、$-3\sin 3x$ となります。したがって、

$$\frac{d}{dx} (\cos^2 3x) = 2(\cos 3x)(-3\sin 3x) = -6\cos 3x \sin 3x = -3\sin 6x$$

ここで、三角関数の倍角公式 $2\sin a \cos a = \sin 2a$ を用いました。

(c) 展開:

$(2 + \sqrt{x})^3$ を二項定理を用いて展開します。

$$(2 + \sqrt{x})^3 = 2^3 + 3(2^2)(\sqrt{x}) + 3(2)(\sqrt{x})^2 + (\sqrt{x})^3$$

$$= 8 + 12\sqrt{x} + 6x + x\sqrt{x}$$

3. 最終的な答え

(a) $\lim_{x\to 3} \frac{2}{x} = \frac{2}{3}$

(b) $\frac{d}{dx} (\cos^2 3x) = -3\sin 6x$

(c) $(2 + \sqrt{x})^3 = 8 + 12\sqrt{x} + 6x + x\sqrt{x}$