与えられた関数 $y = (x^2 + x + 1)e^x$ の $n$ 次導関数を求め、その結果を $\{Ax^B + Cx + (Dn^E + 1)\}e^F$ の形式で表すとき、係数 A, B, C, D, E, F をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (x^2 + x + 1)e^x$ の $n$ 次導関数を求め、その結果を $\{Ax^B + Cx + (Dn^E + 1)\}e^F$ の形式で表すとき、係数 A, B, C, D, E, F をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = (x^2 + x + 1)e^x$ の導関数をいくつか計算して、規則性を見つける。

$y' = (x^2 + x + 1)'e^x + (x^2 + x + 1)(e^x)' = (2x + 1)e^x + (x^2 + x + 1)e^x = (x^2 + 3x + 2)e^x$

$y'' = (x^2 + 3x + 2)'e^x + (x^2 + 3x + 2)(e^x)' = (2x + 3)e^x + (x^2 + 3x + 2)e^x = (x^2 + 5x + 5)e^x$

$y''' = (x^2 + 5x + 5)'e^x + (x^2 + 5x + 5)(e^x)' = (2x + 5)e^x + (x^2 + 5x + 5)e^x = (x^2 + 7x + 10)e^x$

$y^{(n)}$ を求めることを考える。一般的に、$y = f(x)e^x$ の $n$ 次導関数は次のようになる。

$y' = (f'(x) + f(x))e^x$

$y'' = (f''(x) + 2f'(x) + f(x))e^x$

$y''' = (f'''(x) + 3f''(x) + 3f'(x) + f(x))e^x$

...

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k f^{(k)}(x) e^x$

ここで、$f(x) = x^2 + x + 1$ なので、$f'(x) = 2x + 1$, $f''(x) = 2$, $f'''(x) = 0$ となる。したがって、$k \ge 3$ に対して $f^{(k)}(x) = 0$。

$y^{(n)} = (f(x) + nf'(x) + \frac{n(n-1)}{2}f''(x))e^x$

$= (x^2 + x + 1 + n(2x + 1) + \frac{n(n-1)}{2} \cdot 2 )e^x$

$= (x^2 + x + 1 + 2nx + n + n^2 - n)e^x$

$= (x^2 + (2n+1)x + n^2 + 1)e^x$

求める形式 $\{Ax^B + Cx + (Dn^E + 1)\}e^F$ と比較すると、

$A = 1$, $B = 2$, $C = 2n + 1$, $D = 1$, $E = 2$, $F = x$ となる。

3. 最終的な答え

A = 1

B = 2

C = 2n+1

D = 1

E = 2

F = x