関数 $y = (x^2 + x + 1)e^x$ の $n$ 次導関数を求め、与えられた形式 $\{Ax^B + Cx + (Dn^E + 1)\}e^F$ に当てはまる $A, B, C, D, E, F$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^2 + x + 1)e^x$ の $n$ 次導関数を求め、与えられた形式 $\{Ax^B + Cx + (Dn^E + 1)\}e^F$ に当てはまる $A, B, C, D, E, F$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

ライプニッツの公式を利用します。ライプニッツの公式とは、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の $n$ 次導関数を求める公式で、以下の通りです。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k u^{(n-k)} v^{(k)}$

ここで、${}_n C_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ は二項係数です。

$y = (x^2 + x + 1)e^x$ に対して、$u = x^2 + x + 1$, $v = e^x$ とおきます。

$v = e^x$ の導関数は何度微分しても $e^x$ なので、$v^{(k)} = e^x$ となります。

次に、$u$ の導関数を計算します。

$u' = 2x + 1$

$u'' = 2$

$u''' = 0$

$u^{(k)} = 0 \quad (k \ge 3)$

ライプニッツの公式を用いると、

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k u^{(n-k)} v^{(k)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k u^{(n-k)} e^x$

$n-k \ge 3$ のとき、$u^{(n-k)} = 0$ なので、実質的に $k \ge n-2$ の項だけを考えれば良いです。

$y^{(n)} = {}_n C_n u e^x + {}_n C_{n-1} u' e^x + {}_n C_{n-2} u'' e^x$

$= (x^2 + x + 1) e^x + n(2x + 1) e^x + \frac{n(n-1)}{2} \cdot 2 e^x$

$= (x^2 + x + 1 + 2nx + n + n^2 - n) e^x$

$= (x^2 + x + 1 + 2nx + n^2) e^x$

$= (x^2 + (2n+1)x + (n^2+1)) e^x$

これを $\{Ax^B + Cx + (Dn^E + 1)\}e^F$ の形に合わせると、

$A = 1, B = 2, C = (2), D = 1, E = 2, F = 1$

3. 最終的な答え

A: 1

B: 2

C: 2n+1

D: 1

E: 2

F: 1