問題は、与えられた三角関数による一般解の表現 $x = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)$ を、別の三角関数を用いた表現 $x = D\cos(\omega t + \delta)$ もしくは $x = E\sin(\omega t + \phi)$ に変換することです。

1. 問題の内容

問題は、与えられた三角関数による一般解の表現 $x = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)$ を、別の三角関数を用いた表現 $x = D\cos(\omega t + \delta)$ もしくは $x = E\sin(\omega t + \phi)$ に変換することです。

2. 解き方の手順

まず、$x = D\cos(\omega t + \delta)$ を加法定理を用いて展開します。

$x = D\cos(\omega t + \delta) = D(\cos(\omega t)\cos(\delta) - \sin(\omega t)\sin(\delta)) = (D\cos\delta)\cos(\omega t) + (-D\sin\delta)\sin(\omega t)$

次に、この式と $x = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)$ を比較します。

$\cos(\omega t)$ の係数を比較すると $A = D\cos\delta$ となります。

$\sin(\omega t)$ の係数を比較すると $B = -D\sin\delta$ となります。

これらの関係式から $D$ と $\delta$ を $A$ と $B$ で表すことを目指します。

$A^2 + B^2 = (D\cos\delta)^2 + (-D\sin\delta)^2 = D^2(\cos^2\delta + \sin^2\delta) = D^2$

したがって、$D = \sqrt{A^2 + B^2}$ となります。

また、$\frac{B}{A} = \frac{-D\sin\delta}{D\cos\delta} = -\tan\delta$

したがって、$\tan\delta = -\frac{B}{A}$

これから、$\delta = \arctan(-\frac{B}{A})$ が得られます。ただし、$\delta$ の象限を$A$と$B$の符号から適切に決定する必要があります。

同様に、$x = E\sin(\omega t + \phi)$ を加法定理を用いて展開します。

$x = E\sin(\omega t + \phi) = E(\sin(\omega t)\cos(\phi) + \cos(\omega t)\sin(\phi)) = (E\sin\phi)\cos(\omega t) + (E\cos\phi)\sin(\omega t)$

この式と $x = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)$ を比較します。

$\cos(\omega t)$ の係数を比較すると $A = E\sin\phi$ となります。

$\sin(\omega t)$ の係数を比較すると $B = E\cos\phi$ となります。

これらの関係式から $E$ と $\phi$ を $A$ と $B$ で表すことを目指します。

$A^2 + B^2 = (E\sin\phi)^2 + (E\cos\phi)^2 = E^2(\sin^2\phi + \cos^2\phi) = E^2$

したがって、$E = \sqrt{A^2 + B^2}$ となります。

また、$\frac{A}{B} = \frac{E\sin\phi}{E\cos\phi} = \tan\phi$

したがって、$\phi = \arctan(\frac{A}{B})$ が得られます。ただし、$\phi$ の象限を$A$と$B$の符号から適切に決定する必要があります。

3. 最終的な答え

* $x = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)$ から $x = D\cos(\omega t + \delta)$ への変換:

$D = \sqrt{A^2 + B^2}$, $\delta = \arctan(-\frac{B}{A})$ (象限に注意)

* $x = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)$ から $x = E\sin(\omega t + \phi)$ への変換:

$E = \sqrt{A^2 + B^2}$, $\phi = \arctan(\frac{A}{B})$ (象限に注意)