$\log_{10} 2$ と $0.3$ のどちらが大きいか調べよ。

1. 問題の内容

$\log_{10} 2$ と $0.3$ のどちらが大きいか調べよ。

2. 解き方の手順

$\log_{10} 2$ と $0.3$ の大きさを比較するために、$0.3$ を対数の形に変換します。

$0.3 = \log_{10} 10^{0.3}$

次に、$10^{0.3}$ の値を評価します。

$10^{0.3}$ は $10^{\frac{3}{10}} = \sqrt[10]{1000}$ と書けます。

$10^{0.3}$の概算値を計算するために、 $2^3 = 8$ と $10$ に近い値に着目します。

$2^3 < 10$ であるから、両辺の10乗根をとると

$(2^3)^{\frac{1}{10}} < 10^{\frac{1}{10}}$

$2^{\frac{3}{10}} < 10^{\frac{1}{10}}$

両辺を10倍すると

$2^3 < 10$

$1.99^3 = 7.880599$

$2.00^3 = 8.000000$

より、$2^3 = 8 < 10$

$2.1^3 = 9.261 < 10$

$2.2^3 = 10.648 > 10$

よって，$2.1 < \sqrt[3]{10} < 2.2$

$2.1^3 = 9.261$ より$\sqrt[3]{10}$に近いことがわかります。

$\sqrt[3]{10} \approx 2.15$ とすると、

$10^{0.3} = 10^{\frac{3}{10}} = (10^3)^{\frac{1}{10}} = 1000^{\frac{1}{10}}$

ここで、$1000 = 10^3$ より $\sqrt[10]{1000}$ を近似計算するために、$2^{10} = 1024$ を利用します。

$2^{10} \approx 1000$ であるので、

$2 \approx \sqrt[10]{1000}$

したがって、$10^{0.3} \approx 2$ と考えられます。

正確な値は$10^{0.3} \approx 1.99526$です。

$\log_{10} 2 \approx 0.3010$

$0.3 = \log_{10} 10^{0.3} \approx \log_{10} 1.99526$

したがって、$0.3010 > \log_{10} 1.99526$ です。

$\log_{10} 2 > \log_{10} 1.99526$ は成り立ちません。

よって $\log_{10} 2 < 0.3$ である。

3. 最終的な答え

$0.3$ の方が大きい。