実数 $x$ の関数 $f(x) = x^3 - ax^2 + bx + 4b - 2$ が、$\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = -5$ を満たす。ただし、$a$, $b$ は実数とする。 (1) $b$ を $a$ の式で表せ。 (2) $x$ の値が 3 から 6 まで変化するときの関数 $f(x)$ の平均変化率が、関数 $f(x)$ の $x = 2 + \sqrt{7}$ における微分係数に等しいとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $x$ の関数 $f(x) = x^3 - ax^2 + bx + 4b - 2$ が、$\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = -5$ を満たす。ただし、$a$, $b$ は実数とする。

(1) $b$ を $a$ の式で表せ。

(2) $x$ の値が 3 から 6 まで変化するときの関数 $f(x)$ の平均変化率が、関数 $f(x)$ の $x = 2 + \sqrt{7}$ における微分係数に等しいとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = -5$ が存在するためには、まず $f(2) = 0$ でなければならない。

$f(2) = 2^3 - a(2^2) + b(2) + 4b - 2 = 8 - 4a + 2b + 4b - 2 = 6 - 4a + 6b = 0$

$6b = 4a - 6$

$b = \frac{2}{3}a - 1$

$f(x) = x^3 - ax^2 + (\frac{2}{3}a - 1)x + 4(\frac{2}{3}a - 1) - 2 = x^3 - ax^2 + (\frac{2}{3}a - 1)x + \frac{8}{3}a - 6$

$\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - ax^2 + (\frac{2}{3}a - 1)x + \frac{8}{3}a - 6}{x-2} = -5$

$f(x) = (x-2)(x^2 + (2-a)x + 3 - \frac{2a}{3})$

$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x^2 + (2-a)x + 3 - \frac{2a}{3})}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x^2 + (2-a)x + 3 - \frac{2a}{3})$

$= 2^2 + (2-a)2 + 3 - \frac{2a}{3} = 4 + 4 - 2a + 3 - \frac{2a}{3} = 11 - \frac{8a}{3} = -5$

$\frac{8a}{3} = 16$

$a = 6$

したがって、$b = \frac{2}{3}(6) - 1 = 4 - 1 = 3$

(2)

$f'(x) = 3x^2 - 2ax + b$

$x$ が 3 から 6 まで変化するときの関数 $f(x)$ の平均変化率は

$\frac{f(6) - f(3)}{6 - 3} = \frac{f(6) - f(3)}{3}$

$x = 2 + \sqrt{7}$ における微分係数は $f'(2 + \sqrt{7})$

$f(x) = x^3 - ax^2 + bx + 4b - 2$

$f(6) = 6^3 - a(6^2) + 6b + 4b - 2 = 216 - 36a + 10b - 2 = 214 - 36a + 10b$

$f(3) = 3^3 - a(3^2) + 3b + 4b - 2 = 27 - 9a + 7b - 2 = 25 - 9a + 7b$

$\frac{f(6) - f(3)}{3} = \frac{(214 - 36a + 10b) - (25 - 9a + 7b)}{3} = \frac{189 - 27a + 3b}{3} = 63 - 9a + b$

$f'(x) = 3x^2 - 2ax + b$

$f'(2 + \sqrt{7}) = 3(2 + \sqrt{7})^2 - 2a(2 + \sqrt{7}) + b = 3(4 + 4\sqrt{7} + 7) - 4a - 2a\sqrt{7} + b = 33 + 12\sqrt{7} - 4a - 2a\sqrt{7} + b$

平均変化率 = 微分係数

$63 - 9a + b = 33 + 12\sqrt{7} - 4a - 2a\sqrt{7} + b$

$30 - 5a = 12\sqrt{7} - 2a\sqrt{7}$

$30 - 5a = (12 - 2a)\sqrt{7}$

係数を比較して

$12 - 2a = 0 \implies a = 6$

$30 - 5(6) = 0$

$a = 6$ のとき、 $b = 3$

3. 最終的な答え

(1) $b= \frac{2}{3}a-1$

(2) $a = 6$, $b = 3$