媒介変数 $t$ ($0 \le t \le 2\pi$) で表される曲線 $C$ が、$x = e^{-t} \cos t$, $y = e^{-t} \sin t$ で与えられている。 (1) 曲線 $C$ の概形を描く。 (2) 曲線 $C$ 上の点 $P$ における接線と、原点 $O$ と点 $P$ を結ぶ直線 $OP$ のなす角が一定であることを示す。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ ($0 \le t \le 2\pi$) で表される曲線 $C$ が、$x = e^{-t} \cos t$, $y = e^{-t} \sin t$ で与えられている。

(1) 曲線 $C$ の概形を描く。

(2) 曲線 $C$ 上の点 $P$ における接線と、原点 $O$ と点 $P$ を結ぶ直線 $OP$ のなす角が一定であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $C$ の概形を描く。$x$ と $y$ の式から、$t$ が増加すると $x$ と $y$ の値は原点に近づきながら回転していくことがわかる。また，$t=0$ のとき $(x,y) = (1,0)$, $t=\frac{\pi}{2}$ のとき $(x,y) = (0, e^{-\frac{\pi}{2}})$, $t=\pi$ のとき $(x,y) = (-e^{-\pi}, 0)$, $t=\frac{3\pi}{2}$ のとき $(x,y) = (0, -e^{-\frac{3\pi}{2}})$, $t=2\pi$ のとき $(x,y) = (e^{-2\pi}, 0)$ となる。これらの点を通る渦巻きのような曲線となる。

(2) 曲線 $C$ 上の点 $P$ における接線の傾きを求める。$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ である。

$\frac{dx}{dt} = -e^{-t} \cos t - e^{-t} \sin t = -e^{-t} (\cos t + \sin t)$

$\frac{dy}{dt} = -e^{-t} \sin t + e^{-t} \cos t = e^{-t} (\cos t - \sin t)$

よって、

$$\frac{dy}{dx} = \frac{e^{-t} (\cos t - \sin t)}{-e^{-t} (\cos t + \sin t)} = - \frac{\cos t - \sin t}{\cos t + \sin t}$$

次に、直線 $OP$ の傾きを求める。点 $P$ の座標は $(e^{-t} \cos t, e^{-t} \sin t)$ であるから、直線 $OP$ の傾きは $\frac{e^{-t} \sin t}{e^{-t} \cos t} = \tan t$ である。

接線と直線 $OP$ のなす角を $\theta$ とすると、$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ である。ここで、$m_1 = \frac{dy}{dx}$ であり、$m_2 = \tan t$ であるから、

$$\tan \theta = \left| \frac{- \frac{\cos t - \sin t}{\cos t + \sin t} - \tan t}{1 - \frac{\cos t - \sin t}{\cos t + \sin t} \tan t} \right| = \left| \frac{- \frac{\cos t - \sin t}{\cos t + \sin t} - \frac{\sin t}{\cos t}}{1 - \frac{\cos t - \sin t}{\cos t + \sin t} \frac{\sin t}{\cos t}} \right|$$

分子と分母に $(\cos t + \sin t) \cos t$ をかけると、

$$\tan \theta = \left| \frac{- (\cos t - \sin t) \cos t - (\sin t) (\cos t + \sin t)}{(\cos t + \sin t) \cos t - (\cos t - \sin t) \sin t} \right|$$

$$= \left| \frac{- \cos^2 t + \sin t \cos t - \sin t \cos t - \sin^2 t}{\cos^2 t + \sin t \cos t - \sin t \cos t + \sin^2 t} \right| = \left| \frac{- (\cos^2 t + \sin^2 t)}{\cos^2 t + \sin^2 t} \right| = \left| \frac{-1}{1} \right| = 1$$

したがって、$\tan \theta = 1$ より、$\theta = \frac{\pi}{4}$ である。これは $t$ に依存しないので、一定である。

3. 最終的な答え

(1) 曲線Cの概形：原点に近づきながら回転する渦巻きのような曲線。（具体的な図は省略）

(2) C上の点PにおけるCの接線と直線OPのなす角は $\frac{\pi}{4}$ で一定である。