(a) 関数 $f(x) = (1+x)^{\frac{2}{3}}$ を $x$ について3次までマクローリン展開する。 (b) $a = (1.1)^{\frac{2}{3}} = 1.065602236...$ とし、(a)で求めたマクローリン展開に基づく0, 1, 2, 3次の近似多項式を利用して得られた $(1.1)^{\frac{2}{3}}$ の近似値を$a_0, a_1, a_2, a_3$とする。近似値と厳密な値との相対誤差 $\sigma_i = \left| \frac{a_i - a}{a} \right|$ ($i = 0, 1, 2, 3$) を有効数字2桁で求める。

1. 問題の内容

(a) 関数 $f(x) = (1+x)^{\frac{2}{3}}$ を $x$ について3次までマクローリン展開する。

(b) $a = (1.1)^{\frac{2}{3}} = 1.065602236...$ とし、(a)で求めたマクローリン展開に基づく0, 1, 2, 3次の近似多項式を利用して得られた $(1.1)^{\frac{2}{3}}$ の近似値を$a_0, a_1, a_2, a_3$とする。近似値と厳密な値との相対誤差 $\sigma_i = \left| \frac{a_i - a}{a} \right|$ ($i = 0, 1, 2, 3$) を有効数字2桁で求める。

2. 解き方の手順

(a) $f(x) = (1+x)^{\frac{2}{3}}$ をマクローリン展開する。マクローリン展開は $f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$ で与えられる。

まず、$f(x)$ の導関数を求める。

$f(x) = (1+x)^{\frac{2}{3}}$

$f'(x) = \frac{2}{3}(1+x)^{-\frac{1}{3}}$

$f''(x) = -\frac{2}{9}(1+x)^{-\frac{4}{3}}$

$f'''(x) = \frac{8}{27}(1+x)^{-\frac{7}{3}}$

次に、それぞれの導関数に $x=0$ を代入する。

$f(0) = 1$

$f'(0) = \frac{2}{3}$

$f''(0) = -\frac{2}{9}$

$f'''(0) = \frac{8}{27}$

したがって、3次までのマクローリン展開は

$f(x) \approx 1 + \frac{2}{3}x - \frac{1}{9}x^2 + \frac{4}{81}x^3$

(b) (a)で求めたマクローリン展開を用いて、$x = 0.1$ のときの近似値を計算する。

0次の近似多項式: $a_0 = 1$

1次の近似多項式: $a_1 = 1 + \frac{2}{3}(0.1) = 1 + \frac{0.2}{3} = 1 + 0.0666... \approx 1.0666...$

2次の近似多項式: $a_2 = 1 + \frac{2}{3}(0.1) - \frac{1}{9}(0.1)^2 = 1 + \frac{0.2}{3} - \frac{0.01}{9} = 1 + 0.0666... - 0.00111... \approx 1.06555...$

3次の近似多項式: $a_3 = 1 + \frac{2}{3}(0.1) - \frac{1}{9}(0.1)^2 + \frac{4}{81}(0.1)^3 = 1 + \frac{0.2}{3} - \frac{0.01}{9} + \frac{0.004}{81} = 1 + 0.0666... - 0.00111... + 0.0000493... \approx 1.0655993...$

厳密な値 $a = 1.065602236...$

相対誤差 $\sigma_i = \left| \frac{a_i - a}{a} \right|$ を計算する。

$\sigma_0 = \left| \frac{1 - 1.065602236}{1.065602236} \right| = \frac{0.065602236}{1.065602236} \approx 0.06156 \approx 0.062$

$\sigma_1 = \left| \frac{1.066666667 - 1.065602236}{1.065602236} \right| = \frac{0.001064431}{1.065602236} \approx 0.0009989 \approx 0.0010$

$\sigma_2 = \left| \frac{1.065555556 - 1.065602236}{1.065602236} \right| = \frac{0.00004668}{1.065602236} \approx 0.0000438 \approx 0.000044 = 4.4 \times 10^{-5} \approx 0.000044$

$\sigma_3 = \left| \frac{1.065599383 - 1.065602236}{1.065602236} \right| = \frac{0.000002853}{1.065602236} \approx 0.000002677 \approx 0.0000027 = 2.7 \times 10^{-6} \approx 0.0000027$

有効数字2桁で表現する。

$\sigma_0 = 0.062$

$\sigma_1 = 0.0010$

$\sigma_2 = 0.000044$

$\sigma_3 = 0.0000027$

3. 最終的な答え

(a) $f(x) \approx 1 + \frac{2}{3}x - \frac{1}{9}x^2 + \frac{4}{81}x^3$

(b)

$\sigma_0 = 0.062$

$\sigma_1 = 0.0010$

$\sigma_2 = 0.000044$

$\sigma_3 = 0.0000027$