$xy$平面上の2次元スカラー場$\phi$に対して、$\text{grad } \phi = 2\mathbf{i}$ が成り立つとき、この状態がどのような状態であるかを、図と文章で説明する問題です。ここで$\mathbf{i}$ は $x$軸方向の単位ベクトルです。

1. 問題の内容

$xy$平面上の2次元スカラー場$\phi$に対して、$\text{grad } \phi = 2\mathbf{i}$ が成り立つとき、この状態がどのような状態であるかを、図と文章で説明する問題です。ここで$\mathbf{i}$ は $x$軸方向の単位ベクトルです。

2. 解き方の手順

$\text{grad } \phi$ はスカラー場 $\phi$ の勾配ベクトルを表します。2次元の場合、

$\text{grad } \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \mathbf{j}$

と書けます。ここで、$\mathbf{j}$ は $y$軸方向の単位ベクトルです。

問題文より、$\text{grad } \phi = 2\mathbf{i}$ ですから、

$\frac{\partial \phi}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \mathbf{j} = 2\mathbf{i}$

したがって、

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 2$

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = 0$

となります。

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 2$ を積分すると、

$\phi(x,y) = 2x + f(y)$

となります。ここで$f(y)$ は $y$ のみの関数です。

次に、これを $y$ で偏微分すると、

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{d f(y)}{d y} = 0$

よって、$f(y)$ は定数である必要があります。したがって、$f(y) = C$ ($C$は定数) と書けます。

$\phi(x,y) = 2x + C$

これは、$y$の値によらず、$x$ が増加すると $\phi$ が線形に増加することを示しています。等高線は、$x=$ 定数の直線となります。具体的には、傾きを持たない（水平な）等高線が $x$軸方向に等間隔に並んでいる状態です。ベクトル場は、x軸方向に一定の大きさを持つベクトルが並んでいる状態です。

3. 最終的な答え

$\phi(x,y) = 2x + C$ （$C$は定数）で表されるスカラー場であり、$x$が増加すると$\phi$が線形に増加します。等高線は $x=$ 定数の直線であり、$x$軸に垂直な方向に等間隔に並びます。つまり、スカラー場は $x$軸方向に一様に増加する状態を表しています。勾配ベクトルは $x$軸方向に一定の大きさ $2$ を持つベクトル場となります。