次の極限を計算します。 $\lim_{x\to 0} \frac{x(x+1)}{|x|}$

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

$\lim_{x\to 0} \frac{x(x+1)}{|x|}$

2. 解き方の手順

絶対値記号 $|x|$ が含まれているため、$x$が$0$に近づく際、正の方向から近づく場合と負の方向から近づく場合を分けて考えます。

(i) $x \to 0^+$ (右極限)の場合:

$x > 0$ なので、$|x| = x$ です。したがって、

$\lim_{x\to 0^+} \frac{x(x+1)}{|x|} = \lim_{x\to 0^+} \frac{x(x+1)}{x} = \lim_{x\to 0^+} (x+1) = 0 + 1 = 1$

(ii) $x \to 0^-$ (左極限)の場合:

$x < 0$ なので、$|x| = -x$ です。したがって、

$\lim_{x\to 0^-} \frac{x(x+1)}{|x|} = \lim_{x\to 0^-} \frac{x(x+1)}{-x} = \lim_{x\to 0^-} -(x+1) = -(0 + 1) = -1$

右極限と左極限が一致しないため、極限は存在しません。

3. 最終的な答え

極限は存在しない。