与えられた無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^2 - 1}$ の値を計算します。

1. 問題の内容

与えられた無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^2 - 1}$ の値を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{4n^2 - 1}$ を部分分数分解します。

$4n^2 - 1 = (2n - 1)(2n + 1)$ なので、

$\frac{1}{4n^2 - 1} = \frac{A}{2n - 1} + \frac{B}{2n + 1}$

となる $A$ と $B$ を求めます。両辺に $(2n - 1)(2n + 1)$ を掛けると、

$1 = A(2n + 1) + B(2n - 1)$

$1 = (2A + 2B)n + (A - B)$

この等式がすべての $n$ について成り立つためには、

$2A + 2B = 0$

$A - B = 1$

という連立方程式を解く必要があります。

最初の式から $A = -B$。これを2番目の式に代入すると、$-B - B = 1$ より $-2B = 1$ となり、$B = -\frac{1}{2}$。したがって、$A = \frac{1}{2}$。

したがって、

$\frac{1}{4n^2 - 1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} \right)$

次に、級数の部分和 $S_N$ を計算します。

$S_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{4n^2 - 1} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} \right)$

$S_N = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2N - 1} - \frac{1}{2N + 1} \right) \right]$

この級数は望遠鏡級数なので、多くの項が相殺され、残るのは最初の項と最後の項だけです。

$S_N = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2N + 1} \right)$

最後に、級数の和を求めるために、$N \to \infty$ の極限を取ります。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^2 - 1} = \lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2N + 1} \right) = \frac{1}{2} (1 - 0) = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$