与えられた極限を計算します。問題は、$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}$ を求めることです。

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。問題は、$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}$ を求めることです。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}$ を計算します。

$\tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x \cos(2x)}$ と書き換えられます。

さらに、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ を利用するために、分子分母を2で割って2をかけると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x \cos(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot \frac{2}{\cos(2x)}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} = 1$ であり、$\lim_{x \to 0} \cos(2x) = \cos(0) = 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot \frac{2}{\cos(2x)} = 1 \cdot \frac{2}{1} = 2$

3. 最終的な答え

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