関数 $y = \sqrt{x+1}$ を導関数の定義に従って微分する。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{x+1}$ を導関数の定義に従って微分する。

2. 解き方の手順

導関数の定義は以下の通りです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

この定義に従って、$y = \sqrt{x+1}$ の導関数を求めます。

$f(x) = \sqrt{x+1}$ なので、$f(x+h) = \sqrt{(x+h)+1} = \sqrt{x+h+1}$ です。

したがって、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h+1} - \sqrt{x+1}}{h}$

この極限を計算するために、分子を有理化します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h+1} - \sqrt{x+1}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h+1} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+h+1} + \sqrt{x+1}}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h+1) - (x+1)}{h(\sqrt{x+h+1} + \sqrt{x+1})}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x+h+1} + \sqrt{x+1})}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h+1} + \sqrt{x+1}}$

$h \to 0$ のとき、

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x+0+1} + \sqrt{x+1}}$

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+1}}$

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$